Rastlantısal Möbıus dönüşümleri

Abstract

Bu çalısmada Biyolojide Phyllotaxis Fenomeni olarak bilinen yapraklarındizilisinin matematiksel modellemesi ele alınmıstır. Colin Goodall 1991 yılındayayınlanan çalısmasında [9], Phyllotaxis'in cut-grow modeli denilen bir modelini, herbir üçgen bir primordiumu temsil etmek üzere, üçgenlerin bir dizisinin sekillerinindavranısının analizi vasıtasıyla çalısmıstır. Burada baglantılı bir soru üçgen içindeüçgen çizilmesi problemidir [11, 12]. Karmakar, 2004 yılında yayınlanan çalısmasında[8], dönüsümlerin daha genis bir sınıfı ile üretilen üçgenlerin bir dizisinin sekilleriningelisimini çalısmıstır ki bu cut-grow modeli ve üçgenlerin içinde üçgen probleminiiçerir. Biz burada Karmakar'ın bu çalısmasını inceleyecegiz. { n}n 1 X ¥=bütün Möbiusdönüsümlerin kümesinde degerler alan rastlantısal degiskenlerin bir dizisi olsun. Buçalısmada, z C C { } ¥ Î = È ¥ (genisletilmis kompleks düzlem) olmak üzereSn (z) = Xn oKoX1 (z) ile tanımlanan { n ( )}n 0S z ¥=dizisini dikkate alacagız ve{ n ( )}n 0S z ¥=dizisinin hemen hemen kesin yakınsaklıgının gerek ve yeter sartlarınıtartısacagız. Bunun bir uygulaması olarak { n ( )}n 0S z ¥=seklinde bir dizininphyllotaxis'in bir matematik modelini genellemek için nasıl kullanılabileceginigösterecegiz. Aynı zamanda { n ( )}n 0S z ¥=dizisinin dagılımdaki yakınsaklıgı ile ilgilibazı sonuçları tartısacagız.

In this study, the mathematical model of the arrangement of leaves, which isknown as Phyllotaxis Phenomenon in biology, has been analyzed. Colin Goodall, in hisstudy in 1991 [9], had studied a model of phyllotaxis which is called the cut-growmodel via an analysis of the behavior of shapes of a sequence of triangles where eachtriangle represented a primordium. A related question is the problem of drawingtriangles inside of triangles [11, 12]. Karmakar, in his study [8] studied on theevolution of the shapes of a sequence of triangles produced by larger class oftransformations which includes the cut-grow model and the triangles inside trianglesproblem. We are going to examine this study by Karmakar. Let { } n n 1X¥=be a sequenceof i.i.d. random variables taking values in the set of all Möbius transformations. In thisstudy, we consider the sequence { ( )} n n 0S z¥=defined by ( ) ( ) n n 1 S z = X oKoX z wherez C C { } ¥ Î = È ¥ (extended complex plane) and discuss necessary and sufficientconditions for almost surely convergence of { ( )} n n 0S z¥=. As an application we will seehow a sequence of the form { ( )} n n 0S z¥=may be used to generalize a mathematicalmodel of phyllotaxis. Meanwhile, some results related with the convergence indistribution of the sequence { ( )} n n 0S z¥=have been discussed.This study consists of three chapters.