Grup ve monoid yapılarına geometrik yaklaşımlar

Abstract

Bu tez altı bölümden olusmaktadır. Birinci bölümde, grup ve monoid sunuslarıylailgili hatırlatmalar yapılıp, bu cebirsel yapılar üzerinde resimler tanımlanmıstır. Ayrıcaaspherical, combinatorial aspherical, etkililik ve etkisizlik kavramları hatırlatılmıstır. Sonolarak ise, grup durumunda Lustig, monoid durumunda ise Pride'ın ortaya koymus oldugu,etkisiz iken minimallik ile ilgili önemli bir teorem ifade edilmistir.kinci bölüm iki kısımda incelenmis olup, birinci kısımda serbest grupların HNNgenislemesinin devirli alt grup ayrıstırılabilir olması için gerek kosul verilmistir. kincikısımda ise, ayrık genislemeler üzerinde (özellikle de holomorflar üzerinde) alt grupayrıstırılabilirlik incelenmistir.Üçüncü bölümde, standart wreath çarpımdan hareketle etkililik ve alt grupayrıstırılabilirlik arasındaki iliski incelenmistir. Bunun için ilk önce, Cayley graf kullanılarakstandart wreath çarpımın sunusu elde edilmistir. Sonrada bu bölümün ana teoremi verilmistir.Ayrıca G grubu B ile A nın standart wreath çarpımı olmak üzere, bu bölümün diger anasonucu olarak, G grubunun etkililigi ve B-ayrıstırılabilirligi arasındaki iliski tanımlanmıstır.Dördüncü bölümde, bir degismeli grubun herhangi bir grup ile olusturacagı merkezigenislemenin sunusu yardımıyla, p-Cockcroft olması için gerek ve yeter kosullartanımlanmıstır.Besinci bölümde, sonlu devirli monoidlerin yarı direkt çarpımını minimal ancaketkisiz yapan gerek ve yeter kosullar verilmistir. Bölümün sonunda ise bazı örneklerverilmistir.Son bölümde, elde edilen sonuçların bir degerlendirmesi yapılmıstır.ANAHTAR SÖZCÜKLER: Merkezi Genisleme, Cayley Graf, Etkililik, Minimallik,Resimler, HNN and Split (Ayrık) Genisleme, p-Cockcroft Özelligi, Alt GrupAyrıstırılabilirlik, Yarı Direkt Çarpım, Wreath Çarpım.

This thesis consists of six chapters. In the first chapter, we review existing theoryconcerning group and monoid presentations and the concept of pictures over these. We alsorecall aspherical, combinatorial aspherical, n-Cockcroft ( n + ), efficient and inefficientpresentations. Minimality is the final concept introduced in this chapter: we present animportant theorem, due to Lusting in the case of groups and to Pride for monoids.The second chapter is divided in two parts. In the first part we give sufficientconditions on the HNN extension of a free group to be cyclic subgroup separable. In thesecond part we show just subgroup separability on a split extension of special groups which isactually on holomorph.In the third chapter, we are mainly interested in separability and efficiency understandard wreath products. To do that we first obtain a presentation for standard wreathproduct in terms of Cayley graphs. Then we prove our first main result of this chapter.Moreover, by considering the standard wreath product G of any finite groups B by A, wedefine the relationship between B-separability and efficiency, as another main result of thischapter.In Chapter 4, we prove the p-Cockcroft property for the presentation of a centralextension of an abelian group by any group.In Chapter 5, we give necessary and sufficient conditions for a presentation of a semidirectproduct of two finite cyclic monoids to be minimal but inefficient. We end this chapterby giving some examples.In the last chapter the results which are obtained according to the previous chaptershave been summarized.KEY WORDS : Central Extensions, Cayley Graphs, Efficiency, Pictures, Minimality,HNN and Split Extensions, p-Cockcroft Property, Subgroup Separability, Semi-directproducts, Wreath Products.