Adi diferansiyel denklemlerin simetri dönüşümleri

Abstract

Diferansiyel denklemlerin çözümleri çeşitli yöntemler kullanılarak bulunabilir. Bu tezde adi diferansiyel denklemlerin çözümleri için denklemin tanımlandığı manifoldu değişmez bırakan yerel dönüşüm grubu olan Lie simetri grubu kullanıldı. Bu yöntem, diferansiyel denklemlerin yeni çözümlerinin oluşturulmasında önemli rol oynar. Simetri grubu yardımıyla diferansiyel denklemlerin çözümleri daha kolay elde edilebileceği gibi yeni çözümler de elde edilebilir. Ayrıca adi diferansiyel denklemlerin mertebe indirgemesi ve kısmi diferansiyel denklemlerin değişken sayısının azaltılması hatta adi diferansiyel denkleme indirgenmesi yapılabilir. Bu yöntem tüm diferansiyel denklemlere uygulanabilir. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde adi diferansiyel denklemlerin çözümleri ile ilgili birkaç çözüm yönteminden bahsedilmiş ve örnekler verilmiştir. İkinci bölümde temel kavramlar olan bir parametreli Lie grupları, sonsuz küçük dönüşümler, değişmezlik şartı, Lie cebirleri hakkında bilgi verilmiştir. Üçüncü bölümde ise simetri dönüşümlerinin adi diferansiyel denklemlere uygulanışı anlatılmıştır. Dördüncü bölümde ikinci mertebe adi diferansiyel denklemlerin simetri dönüşümüne yer verilmiş. Bu bilgiler doğrultusunda birinci bölümde örnek olarak verilen ve dönüşüm yapılarak çözülen adi diferansiyel denklemin simetri grubunun üreteci bulunup, Lie cebirinin üreteci belirlendi ve simetri dönüşümü ile aynı çözüme ulaşıldı. Beşinci ve son bölümde ise birinci bölümde Adomiyan Ayrıştırma yöntemi ile yaklaşık çözümü verilen lineer olmayan bir adi diferansiyel denklem olan Duffing denklemine simetri yöntemi uygulandı. Lie grubunun üreteci bulunup Lie cebirinin üreteci belirlendi. Diferansiyel değişmezler metodu kullanarak denklem birinci mertebe adi diferansiyel denkleme indirgendikten sonra başlangıç değer problemi için bir çözüm elde edilmiştir.

Solutions of ordinary differential equations are found by different method. In this thesis, Lie symmetry group which is local transformation group is left invariant described manifold of the equation is used for solutions of ordinary differential equations. This method plays on important role construction of new solutions of ordinary differential equations. Solutions of ordinary differential equations can be obtained more easily with the help of the symmetry group as well as new solutions can be found. Also, reduction order of ordinary differential equations, decrease number of variable of partial differential equations insomuch as partial differential equations can be reduced ordinary differential equations. This method can be applied all of ordinary differential equations.This thesis consists of five chapters. In chapter one, several of solution methods of ordinary differential equations are given with examples. In chapter two, is informed about one-parameter Lie groups, infinitesimal transformations, invariance condition, Lie algebras. In chapter three, symmetry transformations are applied to ordinary differential equation. In chapter four, symmetry transformations of second order ordinary differential equations are given. Also, the ordinary differential equation which was solved using a transformation in first chapter, is solved with symmetry theory and both solutions are found same. In chapter five, symmetry method is applied to Duffing equation which is a nonlinear second order ordinary differential equation and is given approximation solution with Adomian decomposition method in first chapter. Lie group operator and Lie algebra operator are found. A solution is obtained for initial value problem after Duffing equation is reduced first order differential equation using differential invariants.