Kesirli black-scholes opsiyon fiyatlama denklemlerinin yaklaşık analitik çözümleri

Abstract

Bu tezde zaman-kesirli mertebeden kısmi Black-Scholes opsiyon fiyatlama denklemlerinin yaklaşık analitik çözümleri ele alınmıştır. Kesirli kısmi diferansiyel denklemlerin çözüm yöntemlerinden olan Adomian Ayrıştırma Yöntemi (AAY), Kesirli Varyasyonel İterasyon Metodu (KVİM), Laplace Homotopi Pertürbasyon Metodu (LHPM), Genelleştirilmiş Diferansiyel Dönüşüm Metodu (GDDM), Çok Değişkenli Padé Yaklaşımı (ÇPY) ve Sonlu Fark Yaklaşımı (SFY) incelenmiştir. Çalışmanın asıl amacı, bu metotları kullanarak, finans literatüründe önemli opsiyon fiyatlama modellerinden Kesirli Black-Scholes Opsiyon Fiyatlama Denklemlerinin (KBSD) yaklaşık analitik çözümlerini elde etmektir. İlk olarak, Black-Scholes denklemi kesirli durumlar için de opsiyonun fiyatını hesaplayacak şekilde kesirli Black-Scholes denklemi olarak yeniden tanımlanmış, daha sonra bu denkleme AAY, KVİM, LHPM, GDDM ve ÇPY uygulanarak yaklaşık analitik çözümler elde edilmiştir. Daha sonra da SFY ile KBSD'nin nümerik çözümü bulunmuştur. Bulunan sonuçlar değerlendirildiğinde kesirli Black-Scholes denkleminin yaklaşık analitik ve nümerik çözümlerinin elde edilmesinde uygulanan yöntemlerin son derece etkili ve uyumlu olduğu görülmüştür. Elde edilen sonuçlar tablo ve grafiklerle sunulmuştur. Çalışmamızda kullanılan kesirli türevler için Caputo kesirli türevi temel alınmıştır.

In this thesis, approximate analytical solutions of time-fractional partial Black-Scholes option pricing equations are considered. Adomian Decomposition Method (ADM), Fractional Variational Iteration Method (FVIM), Laplace Homotopy Perturbation Method (LHPM), Generalized Differential Transform Method (GDTM), Multivariate Padé Approximation Method (MPAM) and Finite Difference Method (FDM), which are used for solving fractional partial differential equations, are studied. The main focus of this study is to obtain that the solution of time-fractional Black-Scholes option pricing equation (FBSE) with the initial condition for a European call option pricing problem using these methods. First of all, we redefine the Black-Scholes equation as Fractional Black-Scholes Equation (FBSE) that computes the option price for fractional values. Then we have applied the ADM, FVIM, LHPM, GDTM and MPAM to the FBSE in order to solve approximate analytically this equation. Also we have applied the FDM to the FBSE for obtaining numerical solution. The obtained results denote that the mentioned methods are very quick and accurate for FBSE. Also, the results have been presented in tables and figures. The fractional derivative is understood in the Caputo sense.