Sürekli olasılık dağılımları için tesadüfi sayı üretimi ve aralarındaki ilişkiler

Abstract

ÖZET Bu çalışmada sürekli olasılık dağılımları için tesadüfi sayılar üretilmiş ve bu üretilen tesadüfi sayılarla olasılık dağılımları arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Birinci bölümde, olasılık ile ilgili genel tanımlar ve kavramlar üzerinde durulmuştur. İkinci bölümde, sürekli olasılık dağılımlarının; kullanım alanları anlatılarak, bu dağılımların olasılık yoğunluk fonksiyonları, birikimli olasılık yoğunluk fonksiyonları, beklenen değer ve varyansları, moment üreten fonksiyonları, çarpıklık-basıklık katsayıları ve aralarındaki ilişkiler teorik olarak izah ve ispat edilmiştir. Üçüncü bölümde, simülasyon hakkında genel bilgiler verilmiş ve tesadüfi sayı kavramı anlatılmıştır. Simülasyon çeşitlerinden ve sürekli tesadüfi değişkenlerin üretimi için gerekli olan genel metotlardan bahsedilmiştir. Özellikle uygulamada kullanılacak olan ters dönüşüm metodu ile konvolüsyon metodu üzerinde durulmuştur. Ayrıca, tesadüfi sayı üretimi için sürekli olasılık dağılımlarının formülleri belirlenmiş ve algoritmaları anlatılmıştır. Algoritmaların programları ise delphi programlama dili ile yapılmış ve her bir dağılım için 10000 adet tesadüfi sayı üretilmiştir. Dördüncü bölümde, her bir olasılık dağılımı için, belirli parametrelere göre 10000 adet tesadüfi sayı üretilerek dağılımının gözlenen değerleri elde edilmiştir. Ayrıca gözlenen değerleri elde edilmiş olan dağılımın, birikimli fonksiyonunun (gözlenen değerlerle aynı olan) parametreleri için 10000 adet beklenen değer elde edilmiştir. Gözlenen değerler ile beklenen değerler arasındaki uygunluğun tespiti için %5 önem seviyesinde ki-kare uygunluk testi yapılmış ve uygunluğun sağlandığı görülmüştür. Beşinci bölümde, sürekli olasılık dağılımlarının birbirlerine dönüşümleri üretilen tesadüfi sayılarla da gösterilmiştir. Bu amaçla, herhangi bir olasılık dağılımının belirli parametrelerine göre 10000 adet tesadüfi sayı üretilerek dağılımının gözlenen değerleri elde edilmiştir. Yine, bu dağılımın yaklaştığı olasılık dağılımının birikimli fonksiyonunun belirli parametrelerine göre 10000 adetn beklenen değer elde edilmiştir. Gözlenen değerler ile beklenen değerler arasındaki uygunluğun tespiti için %5 önem seviyesinde ki-kare uygunluk testi yapılmış ve dönüşümlerin sağlandığı görülmüştür.

Ill ABSTRACT In this study, random numbers for continuous probability distributions have been generated, and with the random numbers generated, the relationships between these probability distributions have been examined. In the first chapter, the general definition and concepts of probability have been given. In the second chapter, application areas of continuous probability distributions have been introduced and probability density functions, cumulative distributions functions, expected values, variances, moment generating functions, coefficients of skewness and kurtosis and their relationships have been explained and proved theoretically. In the third chapter, the general information about simulation has been given, and the concept of random number have been told, and the methods of simulation needed for continuous random variable generation have been introduced. In particular, inverse transform and convolution method have been introduced. Moreover, the formulas of continuous probability distributions for random number generation have been determined and their algorithms have been told. As for the programmes of algorithms, they have been done with the programming language of delphi, and for each distribution, 10000 random numbers have been generated. In the fourth chapter, the observed values of probability distributions have been obtained by generating 10000 random numbers for each probability distribution according to certain parameters. In addition, 10000 expected values have been obtained from the parameters of the cumulative functions (which are the same as the observed values). For determining the appropriateness between the observed and expected values, the test of chi-square goodness-of-fit at 5% significiance level have been made and it has seen that the goodness-of-fit has been provided. In the fifth chapter, the transformation of continuous probability distribution to each other has been shown with the produced random numbers. For this purpose, the observed values of distributions have been obtained generating 10000 random numbers according to the certain parameters of any probability distribution. And alsoIV 10000 expected values have been obtained according to the certain parameters of the cumulative functions of the probability distributions which this distribution approximates. For determining the goodness-of-fit between the observed and the expected values, the test of chi-square goodness-of-fit at 5% significance level have been made and it has been observed that the transformations have been provided.