Küme değerli dönüşümlerin yöne göre alt ve üst türev kümeleri, yöne göre alttan ve üstten diferensiyellenebilirliği ve bunların marjinal fonksiyonlara uygulamaları

Abstract

ÖZET DOKTORA TEZİ KÜME DEĞERLİ DÖNÜŞÜMLERİN YÖNE GÖRE ALT VE ÜST TÜREV KÜMELERİ, YÖNE GÖRE ALTTAN VE ÜSTTEN DİFERANSİYELLENEBİLİRLİĞ1 VE BUNLARIN MARJİNAL FONKSİYONLARA UYGULAMALARI Erdal EKÎCÎ Cumhuriyet Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman : Prof. Dr. Yalçın KÜÇÜK Bu tezde küme değerli dönüşümlerin yöne göre alt ve üst diferansiyeli ve alt ve üst Bouligand konilerine dayanan yöne göre alt ve üst türev kümeleri kavramlarından yararlanılarak küme değerli analizin bazı problemleri araştırılmıştır. Özel olarak, değerleri parçalı düzgün sınırlı kümeler olan küme değerli dönüşüm lerin yöne göre alt ve üst türev kümeleri araştırılmıştır. Daha sonra küme değerli dönüşümlerin yöne göre sürekliliği ile yöne göre türev kümeleri arasındaki ilişki incelenmiştir. Küme değerli dönüşümün yöne göre alt türev kümelerinin boş olmadığı durumda, bu küme değerli dönüşümün yöne göre sürekli olduğu ispatlanmıştır. Ayrıca bu hükmün, yöne göre üst türev kümelerinin boş olmadığı durumda doğru olmadığı örneklenmiştir. Daha sonra marjinal fonksiyonların yöne göre türevleri incelenmiştir. Mar jinal fonksiyonu tanımlayan küme değerli dönüşümün ve marjinal küme değerli dönüşümün yöne göre alt ve üst türev kümelerinden yararlanarak, marjinal fonksiyonun yöne göre alt ve üst türevleri için alt ve üst sınırlar elde edilmiştir.Marjinal fonksiyonun yöne göre türevlenebilir olması için bir yeter koşul bu lunmuştur. Son olarak küme değerli dönüşümlerin yöne göre alt ve üst diferansiyeli tanımlanmış ve onların özellikleri araştırılmıştır. Küme değerli dönüşümlerin yöne göre alt ve üst diferansiyelinin, bu küme değerli dönüşümün yöne göre alt ve üst türev kümeleri ile ilişkisi incelenmiştir. Marjinal küme değerli dönüşümün yöne göre alttan diferansiyellenebilir olduğu durumda, marjinal fonksiyonun yöne göre üst ve alt türevleri için alt ve üst sınırlar bulunmuş ve marjinal fonksiyonun yöne göre türevlenebilir olması için bir yeter koşul elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler : küme değerli dönüşüm, marjinal fonksiyon, küme değerli dönüşümün türevi ve diferansiyeli, contingent koni, yöne göre türev, yöne göre süreklilik iv

SUMMARY PHd. THESIS DIRECTIONAL LOWER AND UPPER DERIVAITVE SETS AND DIRECTIONAL LOWER AND UPPER DIFFERENTIABILITY OF THE SET VALUED MAPS AND THEIR APPLICATIONS TO THE MARGINAL FUNCTIONS Erdal EKÎCÎ Cumhuriyet University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor : Prof. Dr. Yalçın KÜÇÜK In this study, firstly, using the concepts of the directional lower and upper differentials of set valued maps and the directional lower and upper derivative sets of set valued maps, some problems of the set valued analysis have been investigated. The concepts of the directional lower and upper derivative sets of set valued maps are based on the concepts of lower and upper Bouligand cones. In particular, when the value of the set valued map has a piecewise smooth boundary, the directional lower and upper derivative sets have been studied. Secondly, the connection between the directional continuity and the direc tional derivative sets of set valued maps has been investigated. When the directional lower derivative sets of set valued maps are not empty, it has been proved that these set valued maps are directionally continuous, in addition, when the directional upper derivative sets of set valued maps are not empty, it has been examplified that this conclusion is not true.And then, the directional derivatives of marginal functions have been con sidered. The lower and upper estimations for the directional lower and upper derivatives of the marginal function have been obtained using the concepts of the directional lower and upper derivative sets of the marginal set valued map and of the set valued map which defines the marginal function. A sufficient condition for the directional derivability of the marginal function has been obtained. Lastly, the directional lower and upper differentials of set valued maps have been denned and their properties have been studied. The connection between the directional lower and upper differentials of a set valued map and the directional lower and upper derivative sets of this set valued map has been investigated. When the marginal set valued map is directional lower differentiable, the lower and upper estimations for the directional upper and lower derivatives of the marginal function have been obtained and a sufficient condition for the directional derivability of the marginal function has been obtained. Key Words : set valued map, marginal function, derivative and differen tial of the set valued map, contingent cone, directional derivative, directional continuity VI