Örtü uzayları ve düzgün örtü uzaylarının sayılması

Abstract

ÖZET Bu tezde, yüzeylerin düzgün örtülerinin teorisi cebirsel olarak incelendi, özellikle verilen sonlu bir G örtü grubu ile cinsi g olan kompakt, bağlantılı ve yönlendirilebilir (yönlendirilemeyen ve delikli) bir yüzeyin denk olmayan düzgün örtülerinin sayısını hesapladık. Düzgün örtü yüzeylerinin sınıflandırılması ile ilgili ana teorem [ 3,15,16,19 ], ` cinsi g olan r > 0 delikli bir kompakt, bağlantılı, yönlendirilebilir (veya yönlendirilemeyen) ^T (veya ]T ) yüzeyinin IIgr (veya IIgr ) temel grubunun İV normal alt gruplarının ^ (veya ^ ) nin düzgün örtülerinin denklik sınıfları ile bire bir eşlendiğini ` ifade eder. Bu teoreme göre, verilen sonlu bir G örtü grubu ile bir kompakt, bağlantılı yüzeyin düzgün örtülerinin sayısını belirleyen topolojik problem, bu eşleme altında bu yüzeyin temel grubunun normal alt gruplarının sayısını belirleyen cebirsel probleme indirgenir. Amaç, yüzeylerin düzgün örtülerini incelemek ve bu cebirsel problemleri çözmek için Philip Hall'ün Möbius Inversion Formülünün cebirsel versiyonunu, gösterim teorisini ve karakter teoriyi kullanarak sonlu grup teorideki teknikleri uygulamaktır.

Abstract In this thesis the theory of regular coverings of surfaces is algebraically investigated, in particular we determine the number of non-equivalent regular coverings of a compact, connetted orientable (non-orientable and punctured) surface of genus g with a given finite coverings groups G. The main theorem concerning classification of regular covering surfaces stated that [ 3,15,16,19,] ` the normal subgroup N of the fundamental group Ilg>r (or lig,.) of a compact, connected orientable (or non-orientable) surface J] (or ^] ) of genus g with r > 0 punctures are in one-to-one correspondence with the equivalent classes of regular coverings of ^ (or 2 ) `¦ By means of this theorem, the topological problem of determining the number of regular coverings of a compact, connected surface with a given finite covering group G is reduced completely to the algebraic problem of determining the number of normal subgroup of the fundamental group of this surface under this correspondence. The aim is to apply techniques from finite group theory such as character theory, representation theory and Philip Hall's algebraic version of the Möbius Inversion Formula to solve this algebraic problem and to study regular coverings of surfaces.