Kübik nonlineer bir sürekli ortam sisteminin dış zorlamalı ve parametrik titreşimlerine genel bir yaklaşım

Abstract

Sürekli ortam titreşimlerini temsil eden ve birçok uygulamayı modelleyen genel kübik bir nonlineer model (üçüncü derece doğrusal olmayan genel model) ortaya atılmıştır. Denklemdeki lineer ve kübik nonlineer kısımlar, keyfi operatörler yardımıyla gösterilmiştir. Analitik çözümler, Çok Zaman Ölçekli Metod (bir Perturbasyon Metodu) kullanılarak yapılmıştır.İlk olarak dış zorlamaya ait baskın rezonans durumu için genel çözümler yapılmıştır. Genlik ve faz modülasyon denklemleri ve bunlara ait katsayılar genel yapıda yazılmış ve genel bir yaklaşık çözüm üretilmiştir. Düzgün rejim çözümleri yapılmış ve sistem kararlılığı genel yapı içerisinde tartışılmıştır. Bulunan çözüm algoritması iki ayrı nonlineer titreşim problemine uygulanmıştır. Bu uygulamalar eksenel hareketli sürekli ortamlardan seçilmiştir ve bu modeller jiroskopik sistemlere örnektirler. İlk model eksenel hareketli düz Euler-Bernoulli kirişi, ikincisi ise yine eksenel hareketli viskoelastik kiriş problemleridir. Sistem tabii frekansları değişik kiriş parametreleri için ve kiriş hızları için bulunmuştur. Frekans tepki grafikleri değişik kiriş parametreleri ve zorlama değerleri için bulunmuştur. Kararlı ve kararsız bölgeler gösterilmiştir.İkinci olarak tabii frekanslar arasında 3:1 iç rezonans olma durumu ele alınmıştır. Genlik ve faz modülasyon denklemleri bulunmuştur. Bunlara ait katsayılar genel yapıda yazılmış ve genel bir yaklaşık çözüm üretilmiştir. Düzgün rejim çözümleri yapılmış ve sistem kararlılığı tartışılmıştır. Bulunan çözüm algoritması eksenel hareketli Euler-Bernoulli kirişinin ve eksenel hareketli viskoelastik kirişlerin nonlineer titreşimleri problemlerine uygulanmıştır. Eksenel kiriş hızının sabit olduğu durum ele alınmıştır. Düzgün rejim çözümleri sayısal olarak bulunmuştur. Frekans tepki ilişkisi gösterilmiştir. Bir moddan diğer moda enerji transferi olduğu gösterilmiştir. Değişik kiriş ve titreşim parametre değerleri için sıçrama hadisesi gösterilmiştir.Son olarak, temel parametrik rezonans durumu içrezonansın olmadığı ve olduğu durumlara göre ele alınmıştır. İçrezonansın olduğu durum için 3:1 iç rezonans incelenmiştir. Genlik ve faz modülasyon denklemleri gösterilmiştir. Genel bir yaklaşık analitik çözüm üretilmiştir. Düzgün rejim çözümleri ve sistem stabilitesi tartışılmıştır. Bulunan çözüm algoritması akışkan taşıyan elastik ve viskoelastik boruların nonlineer titreşimleri problemine uygulanmıştır. Akışkan hızının sabit olduğu durum analiz edilmiştir. Akışkan taşıyan boruya ait tabii frekans değerleri bulunmuştur. Akışkan hızına karşılık gelen tabii frekans değerleri değişik boru parametreleri için grafiklerle gösterilmiştir. Frekans tepki ilişkisi değişik boru ve zorlama parametreleri için gösterilmiştir. Kararlı ve kararsız bölgeler grafiksel olarak gösterilmiştir.

A general model of continuous system with an arbitrary cubic nonlinearity covering many practical vibration problems has been proposed. Linear parts of the equation are also represented by arbitrary operators. Analytical solution is considered by using the method of multiple scales (a perturbation method).Firstly, the amplitude and phase modulation equations are found for the case of primary resonances of the external excitation of the model. The coefficients of the amplitude and phase modulation equations are calculated in their most general form and an approximate analytical solution is considered. Steady state solutions and their stability are discussed in the general sense. Finally the algorithm of the general model is applied to two special problems. These problems are chosen from axially moving continua and they are examples of gyroscopic systems. First model is axially moving Euler Bernoulli beam problem and the second model is axially moving viscoelastic beam problem. Natural frequencies of the systems are found for different beam parameters and different velocity values. Frequency-amplitude graphs are drawn for different beam and excitation parameters. Stable and unstable regions are shown.Secondly, three-to-one internal resonances between natural frequencies are obtained. The amplitude and phase modulation equations are presented. Approximate analytical general solution is derived by using the coefficients of amplitude and phase modulation equations. Steady state solutions and their stability are discussed. Solution algorithm is applied to nonlinear vibration model of an axially moving Euler Bernoulli beam and axially moving viscoelastic beam. Constant axial velocity case of beams is analyzed. Steady state solutions and their stability are determined numerically. Frequency response relations are obtained. Energy transfer of one mode to another via a three-to-one internal resonance is observed. Jump phenomena of the system are shown graphically by choosing different vibration and beam parameter values.Finally principal parametric resonances are obtained with/without internal resonances. For the case of internal resonances, three to one internal resonances are obtained. The amplitude and phase modulation equations are presented. Approximate analytical solution is derived. Steady state solutions and their stability are discussed. Solution algorithm is applied to nonlinear vibration model of an elastic and viscoelastic pipes conveying fluid .Constant velocity case of fluid is analyzed. Natural frequencies of the pipe conveying fluid are obtained. The graphs of natural frequencies versus fluid velocity are drawn for different pipe parameters. Frequency-response relations are also obtained for different pipe and excitation parameters. Stable and unstable regions are also plotted.