Transport denklemler için bazı ters problemlerin çözümlerinin kararlılığının araştırılması

Abstract

Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, diferensiyel denklemler için ters problemler teorisine ilişkin temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. İkinci bölümde, sınırlı bir bölgede serbest transport denklemi için soğurma katsayısının belirlenmesi ters problemi ele alınmıştır. Bu problemin çözümünün kararlılığı iki büyük parametre içeren Carleman değerlendirmesi kullanılarak gösterilmiştir, (Gaitan and Ouzzane 2013). Üçüncü bölümde, integral terimi içeren bir transport denklem için bir başlangıç/sınır değer problemi ele alınmış ve sınırın bir parçasında verilmiş ek bilgiler yardımıyla bu denklemdeki saçılım katsayısının ve toplam zayıflama katsayısının belirlenmesi ters problemi tartışılmıştır. Bu kapsamda bir büyük parametre içeren ve lineer ağırlık fonksiyonunun kullanıldığı Carleman değerlendirmeleri yardımıyla Lipschitz kararlılığı incelenmiştir, (Machida and Yamamoto 2014). Son bölümde, değişken katsayılı bir transport denklem için kaynak ve katsayı ters problemlerinin çözümlerinin kararlılığı, zamana göre lineer ve bir büyük parametre içeren bir Carleman değerlendirmesi kullanılarak araştırılmıştır, (Gölgeleyen and Yamamoto 2016).

This thesis consists of four chapters. In the first chapter, some basic definitions and theorems related to the theory of inverse problems are given. In the second chapter, we consider an inverse problem of determination of an absorption coefficient in the free transport equation in a bounded domain. The stability of the solution of the problem is investigated by means of a Carleman estimate which includes two big parameters, (Gaitan and Ouzzane 2013). In the third chapter, we deal with an initial/boundary problem for a transport equation with an integral term and discuss inverse problem of determining a time independent scattering coefficient or total attenuation by boundary data on a suitable sub-boundary. In this context, Lipschitz stability is studied by using a Carleman estimate which is based on a linear weight function and includes one big parameter, (Machida and Yamamoto 2014). In the last section, the stability of the solution of some source and coefficient inverse problems for a transport equation with variable principle part is investigated with the help of a Carleman estimate which is linear with respect to time t and includes one large parameter (Gölgeleyen and Yamamoto 2016).