Sierpinski üçgeni ve Sierpinski tetrahedronu üzerinde kaotik dinamik sistemler

Abstract

Bu tezde klasik fraktallardan Sierpinski üçgeni ve Sierpinski tetrahedronu üzerinde kaotik dinamik sistemlerin inşa edilmesi amaçlanmıştır. Bu çalışmanın ilk kısmında fraktallar ve dinamik sistemlerle ilgili temel tanımlara yer verilmiştir. İkinci bölümde zaman kaçış algoritmasından bahsedilmiş ve Barnsley'in bu konuda yapmış olduğu çalışmalardan örnekler incelenmiştir. Barnsley'in bu örneklerde tanımlamış olduğu fonksiyonlardan farklı dönüşümler kullanılarak klasik ve dik Sierpinski üçgenleri zaman kaçış algoritması metoduyla elde edilmiş ve bu fraktallar Maple programı kullanılarak çizdirilmiştir. Bu çalışmanın diğer aşamasında ise iki ve üç boyutlu Sierpinski üçgeni üzerinde kesikli zamanlı kaotik dinamik sistemler elde edilmiştir. Sierpinski tetrahedronu üzerinde bir içsel metrik tanımlanmış ve bu metriğin bazı geometrik özellikleri incelenmiştir. Daha sonra Sierpinski üçgeni ve Sierpinski tetrahedronu üzerinde tanımlanan bu dinamik sistemlerin kaotikliği ve periyodik noktaları araştırılmıştır. Ayrıca aynı yapılar üzerinde tanımlanan farklı dinamik sistemlerin karşılaştırılması yapılmıştır. Son olarak ise n-boyuttaki Sierpinski üçgeni için genelleştirilmiş bir içsel metrik formülü ve dinamik sistem örneği verilmiştir.

In this thesis, it is aimed to construct chaotic dynamical systems on the Sierpinski gasket and the Sierpinski tetrahedron from the classical fractals. In the first part of this study, basic definitions about fractals and dynamical systems are given. In the second part, escape time algorithm is mentioned and examples of Barnsley's studies are examined. By using maps which are different from the maps defined by Barnsley, classical and right Sierpinski gaskets are obtained via escape time algorithm and these fractals are drawn by Maple programme. In the other part of this study, discrete chaotic dynamical systems are obtained on two and three dimensional Sierpinski gasket. An intrinsic metric formula is defined on the Sierpinski tetrahedron and a geometrical property of this metric is examined. Moreover, periodic points and the conditions of being chaotic of these dynamical systems, defined on the Sierpinski gasket and Sierpinski tetrahedron, are investigated. In addition, different dynamical systems on the same structures are compared. Finally, a generalized intrinsic metric formula and a dynamical system example on the n-dimensional Sierpinski gasket are given.