Parçalı polinom fonksiyonları

Abstract

R^n içindeki n-boyutlu ? polihedral kompleksolmak üzere C^r(?) kümesi, ? üzerinde tanımlı, C^rtürevlenebilir parçalı polinom fonksiyonlardan oluşsun. Derecesi kdan küçük ve eşit olan bütün C^r parçalı polinom fonksiyonlarıiçeren C^r_k(?) kümesi R üzerinde sonlu boyutlu bir vektöruzayıdır. Bu tezde n=1 ve 2 durumları için C^r_k(?)vektör uzayının boyut hesaplamaları çalışıldı. n=2 için iki farklıyöntem kullanıldı. İlk yöntemde ? polihedral kompleks olmaküzere C^r(?) nın free olma koşulu altında, değişik örneklerüzerinde C^r_k(?) vektör uzayının boyutu CoCoA 4.7 yazılımprogramı yardımı ile hesaplandı. İkinci yöntemde ? simplekselkompleks olmak üzere yeterince büyük k lar için homolojihesaplamaları kullanılarak C^r_k(?) için genel boyut formülüverildi. Bu iki yöntemle yapılan hesaplamaların örnek üzerindeörtüştüğü de görüldü.Bölüm 2 de temel notasyonlar, tanımlar ve modüller için gerekli olansonuçlar verildi.Bölüm 3 ün ilk kısmında tek değişkenli parçalı polinom fonksiyonlarabir giriş yapıldı. Verilen fonksiyonun C^r türevlenebilirolabilmesi için gerek ve yeter koşulu çalışıldı. Bu koşul altındatek değişkenli parçalı polinom fonksiyonların oluşturduğu uzayınboyutu hesaplandı. İkinci kısımda, ilk olarak polihedral kopmlekslerüzerinde tanımlı iki değişkenli parçalı polinom fonksiyonlarıincelendi. CoCoA 4.7 yazılım programı yardımıyla değişik örneklerüzerinde boyut hesaplamaları yapıldı. İkinci olarak da ?simpleksel kompleks olmak üzere şişman noktalar idealleri ile splinefonksiyonlar arasındaki ilişki çalışıldı. Daha sonra da bu ilişkiyleberaber homoloji hesapları yapılarak yeterince büyük k lar içinC_k^r(?) vektör uzayının genel boyut formülü verildi.

For a n-dimensional polyhedral simplex ? embedded in R^nC^r(?) contains C^r piecewise polynomial functions. Thespace C^r_k(?) consisting of all C^r piecewise polynomialfunctions of degree at most k is a finite dimensional vector spaceover R. In this thesis we computed dimensions of C^r_k(?)in the case of n=1 and 2. For n=2 we used two differentmethods. First method is that for a polyhedral complex ? wehave worked on various examples by using CoCoA 4.7 in order tocalculate dimensions of C^r_k(?) when C^r(?) was free.For the second method, we again computed dimensions ofC_k^r(?) for sufficiently large k by using homolojicalcalculations on a simplicial complex ?. We see that on theexamples these two methods coincide.In Chapter 2, we give notations, definitions and results for module.In the first part of Chapter 3, we introduce piecewise polynomialfunctions in one variable. We give necessary and sufficientcondition for the functions to be C^r smooth. Using these fact thedimension formula is given. In the second part, we first studiedpiecewise polynomial function in two variables on a poyhedralcomplex ?, especially on various examples by usingCoCoA 4.7. Secondly, we have studied the relation between idealsof fat points and piecewise polynomial functions on a simplicialcomplex ?. By using this relation together with homolojicalcomputations a formula for dimension of C_k^r(?) insufficiently large degree k is derived.