Toeplitz matrices and their numerical spectral properties

Abstract

Bu çalışmada, hermitian olmayan bir A Toeplitz matrisinin özdeğerlerini araştırıyoruz. Genellikle bunlar küçük ötelemelere karşı aşırı duyarlıdırlar ve koşul sayıları N boyutuna bağlı olarak üstel olarak artmaktadır. Buna eşdeğer bir ifade ise bir Toeplitz matrisine ait özdeğerleri (zI - A)^{ -1} rezolvent fonksiyonu ile incelenebilmesidir. Rezolventin, spektruma ait z noktalarına çok yakın noktalarda N'e bağlı olarak üstel olarak hızla norm değerleri artar. Bu nedenle hermitian olmayan Toeplitz matrislerine ait birçok teorik çalışmada rezolventten yararlanılarak çalışılır. Bu bakış altında birçok uygulamada epsilon-ötelenmiş özdeğerleri araştırma işlemlerinde rezolventten yararlanılır.Çalışmanın ikinci kısmında ise Lineer Operatörlerin pseudospektrumu araştırılmaktadır. Burada ayrıca Toeplitz matrislerin spektrumlarına ait özellikleri semboller yardımıyla da açıklanmaktadır. Yaptığımız çalışmada elde ettiğimiz sonuçlar, üçgen ve üçgen olmayan Toeplitz matrislerinde ve değişken katsayılı durumlarda da elde edilmiştir.Bu çalışmada Genel Toeplitz matrislerinin pseudospektrumu ile ilgili örneklerin araştırılmasında Mathematica ve Matlab programlarından ve nümerik analiz tekniklerinden yararlanılmıştır.Anahtar kelimeler: Özdeğer, özvektör, ötelenmiş özdeğer, spektrum, pseudospektrum, Toeplitz matris.

In this study, we investigate the eigenvalues of a non-hermitian Toeplitz matrix A. These are usually highly sensitive to perturbations,having condition numbers that increase exponentially with the dimension N. An equivalent statement is that the resolvent (zI - A)^{ - 1} of a Toeplitz matrix may be much larger in norm than the eigenvalues alone would suggest-exponentially large as a function of N, even when z is far from the spectrum. Because of these facts, the meaningfulness of the eigenvalues of non-hermitian Toeplitz matrices for any but the most theoretical purposes should be considered suspect. In many applications it is more meaningful to investigate the varepsilon-pseudoeigenvalues.In the second part of study we investigate the pseudospectra of Linear Operators and analyzes the pseudospectra of Toeplitz matrices, and in particular relates them to the symbols of the matrices and thereby to the spectra of the General Toeplitz matrices. Our results are reasonably complete in the triangular case, and preliminary in the cases of non-triangular Toeplitz matrices with smoothly varying coefficients.This study presents computed examples of pseudospectrum for the General Toeplitz matrices with using Mathematica and Matlab programming, and applications in numerical analysis.Keywords: Eigenvalue, eigenvector, pseudoeigenvalue, spectrum, pseudospectrum, Toeplitz matrix.