Baer and quasi-Baer modules

Abstract

Bu çalışma retractable modüllerin endomorphizma halkalarını, Baer, quasi-Baermodülleri ve halkaları içermektedir. M'nin her sıfırdan farklı alt modülü için HomR(M, N) ,0 ise bu M modülüne retractable module denir. Gösterildi ki, MR nonsingular ve retractableolsun, MR CS modüldür ancak ve ancak endomorfizma halkası CS halkadır(EndR(M) = S ). M'nin endomorfizma halkasının sol idealinin sağ sıfırlayıcısı M'nindirek toplamıysa M'ye Baer modül denir. Bu tanımlardan sonra (quasi-) Baer modülündirek toplamının (quasi-) Baer modül olduğu gösterildi. Bunların yanında (quasi-)Baer modülün dik toplamlarının (quasi-) Baer modül olmadığı gösterildi. (Quasi-)Baer halkasındaki her serbest modülün her zaman (quasi-) Baer modül olduğu gösterildi.CS-moduller ve FI-extending modüller arasındaki ilişki gösterildi. Ayrıca kanıtlandıki, MR (quasi-) Baer ve (FI-) K-cononsingulardir ancak ve ancak MR (FI-) extending ve(FI-) K-nonsingulardir. Ve her (sağ) R-modulü Baerdir ancak ve ancak R semisimpleve artiniandır. Bu sonuçların yanında, (quasi-) Baer modulün endomorfizma halkasının(quasi-) Baer halka olduğu ama tersinin genellikle doğru olmadığı gösterildi.

This study contains the endomorphism rings of retractable modules, Baer, quasi-Baer modules and rings. A module MR is said to be retractable if HomR(M, N) , 0 foreach nonzero submodule N of M. It is shown that if MR is nonsingular and retractable,then EndR(M) = S is a right CS ring if and only if M is CS module. A module MR iscalled (quasi-) Baer if the right annihilator of a (two-sided) left ideal of S = EndR(M)is a direct summand of M. After these definitions, it is shown that a direct summandof a (quasi-) Baer module is also a (quasi-) Baer module and a finitely generated ZmoduleM is a Baer module if and only ifMis semisimple or torsion free. Beside theseit is shown that direct sums of (quasi-) Baer modules are not (quasi-) Baer module.Furthermore, it is shown every free (projective) module over a (quasi-) Baer ring isalways a (quasi-) Baer module. The relation between CS-modules and FI-extendingmodules are exhibited and it is shown that a module MR is (quasi-) Baer and (FI-)K-cononsingular if and only if MR is (FI-) extending and (FI-) K-nonsingular. It is alsoshown that if R is semisimple and artinian if and only if every (right) R-module is Baer.Among other results, the endomorphism ring of a (quasi-) Baer module is a (quasi-)Baer ring, while the converse is not true in general.