Chebyshev polynomial solutions of second order linear partial differential equations

Abstract

TÜRKÇE ÖZET Bu çalışmada, iki değişkenli ikinci mertebeden değişken katsayılı lineer parçalı diferansiyel denklemlerin Chebyshev polinomları cinsinden yaklaşık çözümlerini bulmak için bir `Chebyshev- Matrix Yöntemi` verilmiştir. Bu yöntem, M. Sezer ve M. Kaynak tarafından adi diferansiyel denklemlerin çözümü için verilen ` Chebyshev- Matrix Yöntemi` 'nin bir genellemesidir. Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır; birinci bölümde, Chebyshev polinom ve serilerinin bazı önemli özellikleri verilmiş ve problem tanıtılmıştır. İkinci bölümde, denklem içindeki fonksiyonların ve türevlerin, kesilmiş Chebyshev seri açılımları ve bunlara karşı gelen matris gösterimleri çıkarılmış; Chebyshev katsayılarının hesabı için gerekli temel matris bağıntıları elde edilmiştir. Üçüncü bölümde, ikinci bölümde elde edilen matris bağıntıları yardımı ile türevsel denklem ve koşullar, Chebyshev katsayılı matris denklemlerine dönüştürülmüş ve anahatlan ile çözüm yöntemi sunulmuştur. Dördüncü bölümde, yöntemin önemli özelliklerini açıklayan örnekler sunulmuş ve sonuçlar, diğer yöntemlerle elde edilen sonuçlarla karşılaştırılarak tartışılmıştır.

ABSTRACT In this study, a Chebyshev matrix method is given to obtain approximate solutions of second order linear partial differential equations with two variables in terms of Chebyshev polynomials. This method is a generalization of ` Chebyshev Matrix Method ` which is given for solving ordinary differential equations by M. Sezer&M. Kaynak. This study consits of four chapters; in the first chapter, some important properties of Chebyshev polynomials and series are given and the problem is described. In the second chapter, the truncated Chebyshev series and matrix representations of functions and derivatives in the equation are derived, and the basic matrix relations which are required for computing the Chebyshev coefficients are obtained. In the third chapter, by the help of matrix relations obtained in the second chapter, the derivative equation and its conditions are transformed to matrix equation with Chebyshev coefficients and a former method for the solution is given as an outline. In the last chapter, examples are presented which illustrate the pertinent features of method and the results are discussed by comparing the results obtained from other methods.