Dirichlet probleminin eliptik fonksiyonlar cinsinden çözümü

Abstract

VI ÖZET DIRICHLET PROBLEMİNİN ELİPTİK FONKSİYONLAR CİNSİNDEN ÇÖZÜMÜ Bu çalışmada, Dirichlet probleminin Green fonksiyonu eliptik fonksiyonlar cinsinden ifade edilmiş ve problemin çözümü Green fonksiyonuna ve dolayısıyla eliptik fonksiyonlara dayandırılmıştır. Birinci bölümde; diferansiyel denklemlerin tarihçesi, gelişimi, eliptik fonksiyonların tarihi, Dirichlet probleminin tanımı ve daha önce yapılan çalışmalara yer verilmiştir. İkinci bölümde; eliptik fonksiyonlar ve bunlarla ilgili işlemler, eliptik integraller, konform dönüşüm, Riemann dönüşüm teoremi, Green fonksiyonu gibi temel bağıntılardan bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde; problemin çözümü için yöntemler verilmiştir. Bu bölümde önce Dirichlet probleminin Green fonksiyonuyla çözümü için yöntem tanıtılmış daha sonra dikdörtgen bölgede Dirichlet probleminin çözümü için gerekli olan dönüşüm ve Green fonksiyonu bulunup problem dikdörtgen bölgede çözülmüştür. Daha sonra elips bölgede Dirichlet problemi için gerekli dönüşüm ve Green fonksiyonu bulunup problem elips bölgede çözülmüştür. Dördüncü bölümde Dirichlet probleminin eliptik fonksiyonlar cinsinden çözümüne uygulama olması açısından dikdörtgen bölgede problem için uygulama verilmiştir. Denklem önce eliptik fonksiyonlar cinsinden çözülmüştür. Daha sonra aynı denklem bilinen yöntem olan Değişkenlere Ayırma Metodu ile çözülmüş ve her iki yöntemle bulunan sonuçlar karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma yapılırken Mathcad bilgisayar paket programından yararlanılmıştır. Bulunan bu hassas sonuçların tutarlılığı grafiklerle gösterilmiştir. Beşinci bölümde; sonuç ve tartışmalara yer verilerek yöntemin sağladığı kolaylık ve zorluklara değinilmiş, ayrıca getirdiği yeniliklerden bahsedilmiştir. Anahtar sözcükler: Dirichlet problemi, eliptik fonksiyonlar, eliptik integral, Green fonksiyonu.

vıı ABSTRACT In this study, the Green function of the Dirichlet problem is defined in terms of elliptic functions and the solution of the problem is based on the Green function and thus elliptic functions. In the first chapter, the history and development of differential equations, the history of elliptic functions, the definition of Dirichlet problem and previous studies are presented. In the second chapter, fundamental relations such as elliptic functions and related operations, elliptic integrals, conform mapping, Riemann transformation theorem and Green theorem are mentioned. In the third chapter, methods are given for the solution of the problem. In this chapter, the method of solution for Dirichlet problem by Green function is presented first and then the Green function and the transformation required for the solution of the Dirichlet problem in the rectangular region is found and the problem is solved in the rectangular region. Subsequently, the Green function and the transformation required for the Dirichlet problem in the ellipse region is found and the problem is solved in the ellipse region. In the fourth chapter, an application for the problem in the rectangular region is given in order to present an application of the solution of Dirichlet problem in terms of elliptic functions. At first, the equation is solved in terms of elliptic functions. Then the same equation is solved by the known Method of Separation of Variables, and the results of both methods are compared. We made use Mathcad computer program to make the comparison. The consistency of these sensitive results are shown by graphics. In the fifth chapter, results and discussion are given, the facilities and difficulties of the method presented and the contributions of the method are mentioned.