Q-Eulerian polynomials and B-splines

Abstract

Düğümleri q-tamsayılarda ve geometrik dizide olan B-spline fonksiyonları ile q-Eulerian polinomları arasındaki ilişkiyi inceledik. Üstel spline fonksiyonlarının q benzerini tanımladık ve bunu Euler-Frobenius polinomlarının q benzerini türetmek için kullandık. q-Eulerian sayıları ile B-spline fonksiyonları arasında ki bağıntıyı her iki düğüm dizisi için q-Euler-Frobenius polinomlarını kullanarak elde ettik. Düğümleri q-tamsayılarda olan B-spline fonksiyonu ve düğümleri geometrik dizide olan B-spline fonksiyonlarının düğüm noktaların da aynı değeri aldığını gösterdik. Ayrıca Marsden özdeşliğinin q-benzerini oluşturduk ve bu özdeşlikler Worpitzky özdeşliğinin q benzerini bulmamızı sağladı. Son olarak, düğümleri tamsayılarda olan B-spline fonksiyonlarının simetri özelliğini genelleyen düğümleri geometrik dizide olan B-spline fonksiyonları için iki tane özdeşlik elde ettik.

We investigate the relations between q-Eulerian polynomials and B-splines with knots both at q-integers and in geometric progression. We give q-analogue of exponential splines and use it to derive q-Euler-Frobenius polynomials. Using q-Euler-Frobenius polynomials the relation between q-Eulerian numbers and B-splines are derived for both knot sequences. It is shown that B-splines with knots at q-integers and B-splines with knots in geometric progression have same values on their knot points. We also construct q-analogues of Marsden's identity and these identities lead us to q-analogue of Worpitzky identity. Finally, we derive two identities for B-splines with knots in geometric progression which generate the symmetry property of B-splines with knots at integers.