Almost perfect rings

Abstract

Bazzoni ve Salce değişmeli bir tamlık bölgesi üzerindeki her modülün bir güçlü düz örtüye sahip olması ile her düz R-modülün güçlü düz modül olmasının denk olduğunu göstermiştir ve bu durum ancak ve ancak R neredeyse mükememmel ise, yani R'nin bütün öz bölümleri mükemmel olan bir halka ise sağlanır. Facchini ve Parolin sağ neredeyse mükemmel halkaları, her sıfırdan farklı iki-taraflı öz I ideali için R/I bölüm halkası sağ mükemmel olan halkalar olarak tanımlamışlardır. Değişmeli neredeyse mükemmel tamlık bölgelerinin sahip olduğu özelliklerin çoğunun değişmeli olmayan uyarlamada hala geçerli olduğunu kanıtladılar. Bu tezde, değişmeli neredeyse mükemmel tamlık bölgeleri ile Renault tarafından tanımlanan C-halkalar arasındaki ilişkileri, ve daha sonra sağ neredeyse mükemmel halkalar ile Generalov tarafından tanımlanan sol C-J-halkalar arasındaki ilişkileri gözlemledik. Eğer her sol R-modül M ve onun her büyük altmodülü N için M/N modülü basit bir altmodüle sahipse, R halkasına sol C-halka deriz. Bir J sol idealleri kümesi için, R halkasının sol C-J-halka olması için gereken şart, R halkasının her J-yoğun sol ideali I (yani, R'nin her r elemanı için (I:r) sol ideali J'ye aittir ve (I:r)r ifadesi 0'dan farkldır) için (I:r) maksimal sol ideal olacak şekilde halkada bir r elemanı olmasıdır. Facchini ve Parolin değişmeli olmayan halkalar için h-lokal kavramını da tanımladı. R halkasının her sıfırdan farklı iki-taraflı öz I ideali için R/I bölüm halkası yarılokal ve R'nin her sıfırdan farklı iki-taraflı asal ideali R'nin tek bir iki-taraflı maksimal idealinde içeriliyorsa, R'ye h-lokal halka denir. Bir asal R halkasının sağ neredeyse mükemmel halka olması için gerek ve yeter şartın R nin h-lokal ve sol C-J-halka olması olduğunu kanıtladık; burada J Gabriel filtresi öyle I sol ideallerinden oluşur ki I'yı öz içeren her iki-taraflı J ideali için halkanın öyle bir r elemanı vardır ki (I:r) sol ideali sıfırdan farklı iki-taraflı bir ideal içerir.

Bazzoni and Salce have showed that all modules over a commutative domain R have a strongly flat cover if and only if every flat R-module is strongly flat and that holds if and only if R is almost perfect, that is, every proper quotient of R is a perfect ring. Facchini and Parolin defined a ring R to be right almost perfect if the quotient ring R/I is a right perfect ring for every nonzero proper two-sided ideal I of R. They proved that most of the properties of commutative almost perfect domains still hold in the noncommutative setting. In this thesis, we observe the relation between commutative almost perfect domains and C-rings of Renault, and then the relation between right almost perfect rings and C-J-rings of Generalov. A ring R is said to be a left C-ring if for every left R-module M and for every essential proper submodule N of M, M/N has a simple submodule. For a set J of left ideals of a ring R, the ring R is said to be a left C-J-ring if for any proper J-dense left ideal I of R (that is, for every element r of R, the left ideal (I:r) belongs to J and (I:r)r is not equal to 0), there exists an element r of R such that (I:r) is a maximal left ideal. Facchini and Parolin have defined h-locality also for noncommutative rings. A ring R is said to be h-local if R/I is semilocal for every proper nonzero two-sided ideal I of R and every nonzero prime two-sided ideal of R is contained in a unique maximal two-sided ideal of R. We prove that for a prime ring R, R is right almost perfect if and only if it is h-local and a left C-J-ring, where J is the Gabriel filter that consists of the left ideals I of R such that for every two-sided ideal J containing I properly, there exists an element r not contained in J with (J:r) containing a nonzero two-sided ideal.