On the spectral properties of Schrödinger operators

Abstract

Zamandan bağımsız Schrödinger operatörü kuantum fiziğinin temel operatörlerinden biridir.Bu tezde ilk olarak, Neumann sınır koşulları ile tanımlanan matris potansiyelli çok boyutlu Schrödinger operatörünün özdeğerleri için keyfi dereceden asimptotik formüller elde edilmiştir. Bu kısımda, özdeğerlerin kırınım düzlemine yakın olduğu varsayılmıştır.İkinci olarak ise, sonsuz metrik grafikleri üzerinde tanımlı düzenli olmayan potansiyele sahip Schrödinger operatörünün; esaslı spektrumunun alt sınırının karakterizasyonu, spektrumunun negatif kısmının ve tüm spektrumunun diskritliği, özvektörlerin üstel azalması gibi spektral özelliklerinin detaylı bir analizi yapılmıştır. Bu kısımda, potansiyelin lokal olarak integrallenebilir olduğu ve potansiyelin negatif kısmının integral anlamında sınırlı olduğu varsayılmıştır.Anahtar kelimeler: Schrödinger operatörü, matris potensiyeli, Neumann koşulu, pertürbasyon, asimptotik formüller, metrik grafiği, spektrum, Schrödinger operatörünün özuzayı, üstel azalma.

The time independent Schrödinger operator is one of the fundamental operator in quantum physics.In this thesis, firstly, we obtain asymptotic formulas of arbitrary order for the eigenvalues of the multidimensional Schrödinger operator with a matrix potential and the Neumann boundary condition, when the corresponding eigenvalue of the unperturbed operator is near the diffraction plane.Secondly, we introduce a detailed analysis of the spectral properties of Schrödinger operators with non-regular potentials on infinite metric graphs such as a characterization of the bottom of essential spectrum, the discreteness of the negative part of the spectrum and of the whole spectrum, exponential decay of eigenfuctions. Here we suppose that the potential is locally integrable and its negative part is bounded in certain integral sense.Keywords: Schrödinger operator, matrix potential, Neumann condition, perturbation, asymptotic formulas, metric graph, spectrum, eigenspace of Schrödinger operators, exponential decay.