Fourier dönüşümleri ve uygulamaları

Abstract

Bu çalışmada, Fourier dönüşümlerinin sistematik yapısı«, özellikleri, uygu¬lama alanları ve integral dönüşümler içindeki konumu incelenmiştir. Bu amaçla, Fourier serileri ele alınarak ilgili teoremlerden bazıları ispatlarıyla verildi. Bilindiği üzere, Fourier serileri fonksiyonları bir sonlu aralıkta incelemek için kullanılır. Ancak, bir çok fonksiyon tüm ÎR gerçel doğrusunda tanımlandığı için IR üzerinde benzer bir teori geliştirilerek Fourier integralleri (dönüşüm¬leri) tanımlanmıştır.Çalışmamızın özünü oluşturan*1—Cö-t rvyF(a) =(2TT) 2 / f(x)e dx~~oove1t»f(x) ™(2îr)` 2 f F(a)eıaxda—00biçimindeki Fourier dönüşümlerini sağlıklı şekilde inceleyebilmek için Fourier çekirdekleri incelenerek ilgili teoremleri ve örnekleri verildi. Bir fonksiyo-nun hangi koşullar altında Fourier dönüşümüne sahip olduğunu açıklayan Fourier integral teoreminin ispatı verilerek Fourier dönüşüm çiftleri teşkil edildi.Bu dönüşüm çiftleri için konvoltîsyon teoremi ve uygulamaları verildi. Bundan baş-ka bir fonksiyonun türevlerinin Fourier dönüşümleri arasındaki mevcut bağın-tılar elde edildi. Ayrıca, Laplace ve Mellin dönüşümleri ana batlarıyla tanıtı-larak Fourier dönüşümleri ile karşılaştırıldı ve Fourier dönüşümlerinin bu dÖ~* nüşümlere nazaran genel bir dönüşüm olduğu görüldü. Son olarak, Fourier dönü-* şümlerinin matematik ve matematik fizikle ilgili örnek problemleri çözüldü,

In this study., the systematical structures characterestic, application fields and the place among the integral transforms of Fourier transforms are examined. For this purposes Fourier series are discussed and some of the related theorems are given with their proofs. As it known., Fourier series are used to examine the functions in a finite interval. But,, because of many functions are defined on real line XRS a similar theory is developed on IR and Fourier integ¬rals (transforms) are defined. -The principle of our work is the following Fourier transforms.I«>F(ot) =(2TT) 2 / f(x)elCtXdx ?—ee***`- 00-`iotxf(x) =(2TT) 2 / F(ct)e da—COand Fourier kernel are studied to examine healthily these Fourier transforms and some examples are given. The proof of Fourier integral theorem that exp- laines in which conditions a function has a Fourier transform is given and the pairs of Fourier transform are formed.For these transforms9 convolution theorem and its application are given. Fourther more, the relations between the Fourier transforms of the derivatives a function are obtained. In addition these, Laplace and Mellin transforms are introduced and they are compared with Fourier transforms. Consequently, we have seen that Fourier transforms are more general than these transforms. At the end related problems of Fourier transforms are solved mathematic and mathema¬tical physics.