Riemann yüzeyleri üzerinde holomorfik ve meromorfik fonksiyonların halkaları

Abstract

R bir açık Riemann yüzeyi ve H{R), R üzerindeki tüm holomorfik fonksiyonlar cümlesi olsun. Bu durumda H(R) nokta sal toplama ve çarpma işlemleri altında bir halkadır. X, R nin boş olmayan bir altcümlesi olmak üzere, H(X) in hem C kompleks sayılar hem de İR reel sayılar cismi üzerinde bir ce bir olduöu bilinmektedir. Bu tezde esas olarak S açık Riemann yüzeyinin boş olmayan Y altcümlesi üzerinde holomorfik fonksi yonların cebiri H(Y) olmak üzere, H(Y) nin izomorf görüntüle ri olan H(X) in R. öz althalkaları incelenmiştir. Burada söz konusu izomorf izm^C- izomorf izmi olup, H(X) in R, öz althal- kası için R. nin spektrumunun- Gelfand topolojisinle birlikte Y ye hömeomorf bir Riemann yüzeyi olduğu gösterilmiştir. Bu tezde aynı zamanda çeşitli tipten $:H(Y) -*H(X) homomorfizmleri incelenmiştir, örneğin, * bir cebir izomor- fizmi ise, bu durumda $ e A(X,Y) için $(f) = f o <J> ve her C-konjüge homomorfizminin f »* f o <J> biçiminde olduğu gösteril miştir. ANAHTAR KELİMELER : Holomorfik ve meromorfik fonksiyonların halkaları, C-izomorfizmi, konform eşde ğer lik, bir öz althalkanın spektrumu, bir açık Riemann yüzeyin boş olmayan alt cümlesi, bir açık Riemann yüzeyinin bir altcümlesi üzerinde tanımlı analitik fonksiyonlar.

If R is an open Riemann surface and H(R) is the set of all holomorphic functions on R, then H(R) is a ring under pointwise addition and multiplication. Let X be a non empty subset of R. It is well known that H{X) is an algebra over both the complex numbers C and the real numbers M. This thesis is mainly concerned with the proper subrings R^ of H(X) which are isomorphic images of H(Y), the algebra of all holomorphic functions on a non-empty subset Y of the open Riemann surface S, under a C-isomorphism. For R^, a proper subring of H{X), it has been shown that the spectrum of R^ with the Gelfand topology is homeomorphic to Y. Also various kinds of ring homomorphisms $:H(X)->H(Y) has been investigated in the thesis. For example it has been shown that if 0 is a £- isomorphism, then <H f ) = f o <j> ; every C-con jugate homomorphism is of the from f ** f o <j>, etc. KEY WORDS : Rings of holomorphic and meromorphic functions, C-Isomorphism, conformal equivalence, spectrum of a proper subring, non-empty subset of an open Riemann surface, analytic functions defined on a subset of an open Riemann surface.