Lineer olmayan Schrödinger denkleminin sınırsız katsayısıyla optimal kontrol problemleri ve onların sonlu fark yaklaşımı

Abstract

Bu tezde, lineer olmayan Schrödinger denklemi için optimal kontrol problemleri ele alınmıştır. İlk bölümde optimal kontrol teorisi hakkında genel bir giriş yapıldıktan sonra, ikinci bölümde tezde kullanılan teoremler, lemmalar ve bazı matematiksel kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, ilk olarak lineer olmayan kısımda bir reel katsayı olan Schrödinger denklemi için bir optimal kontrol problemi ele alınmıştır. Daha sonra, lineer olmayan kısımda bazı özel şartlar altında bir kompleks katsayı olan Schrödinger denklemi için bir optimal kontrol problemi ele alınmıştır. Her iki problem içinde olası kontroller kümesi, ölçülebilir karesel integrallenebilir fonksiyonlar uzayıdır. Bu problemler için, başlangıç-sınır değer problemlerinin çözümünün varlığı ve tekliği ispatlanmış, optimal kontrol problemlerinin iyi konulmuş olması için gerekli olan sorular incelenmiş, fonksiyonelin diferansiyellenebilir olduğu gösterilmiş ve optimal kontrol problemlerinin çözümü için bir gerek şart elde edilmiştir. Daha sonra, bu bölümde ele alınan optimal kontrol problemlerine sırasıyla sonlu farklar yöntemi uygulanmış ve sonlu fark yaklaşımlarının fonksiyonele göre yakınsaklığı ispatlanmıştır. Dördüncü bölümde elde edilen bulgular verilmiş olup, beşinci bölümde bu tezin önceki çalışmalardan farklılığı vurgulanmıştır.

In this thesis, the optimal control problems for nonlinear Schrödinger equation are considered. In the first chapter, after giving a general introduction about the optimal control theory, in the second chapter, theorems, lemmas and some mathematical concepts used in this thesis are presented. In the third chapter, firstly, a optimal control problem for Schrödinger equation that exists a real coefficient in the nonlinear part is considered. Secondly, a different optimal control problem for Schrödinger equation that exists a complex coefficient under some special condition in the nonlinear part is considered. For these two problems, set of probable controls is space of measurable squarel integrable functions. For these problems, the existence and uniqueness of the solutions of initial boundary value problems are proved, the questions which are necessary for checking whether optimal control problems are well posed are investigated, it is showed that functional is differentiable and a necessary condition for the solution of optimal control problems is obtained. Then, respectively, the finite difference method is applied to these optimal control problems considered in this chapter and the convergence of the finite difference approximation according to the functional is proved. In the fourth chapter, obtained findings are given and it is emphasized that this thesis different from the former studying in the fifth chapter.