Bazı farklı türden konveks fonksiyonlar için integral eşitsizlikleri

Abstract

Bu tezde, bazı farklı türden konveks fonksiyonlar incelenerek bu türden konveks fonksiyonlar için integral eşitsizlikleri elde edilmiştir. İlk bölüm giriş niteliğinde olup, bu bölümde konveks fonksiyonlar ve eşitsizlikler ile ilgili günümüze kadar yapılan çalışmalar hakkında bilgiler verilmiştir. Tezde kullanılan temel tanımlar, teoremler ve pozitif reel sayıların bazı özel ortalamaları ikinci bölümde verilmiştir. Üçüncü bölümde, ilk olarak E-konveks küme, güçlü E-konveks küme, E-konveks, yarı E-konveks, E-quasi konveks, güçlü E-konveks ve yarı güçlü E-konveks fonksiyon kavramları verilmiştir. Daha sonra, diğer bazı farklı türden konveks fonksiyonlar ve bu fonksiyonlarla ilgili temel özellikler verilmiştir. Son olarak da konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler ile birlikte bu eşitsizliklerin ve bu tezde elde edilen yeni eşitsizliklerin bazılarının ispatında kullanılan lemmalar verilmiştir. Dördüncü bölümde ilk olarak E-m-konvekslik kavramları tanımlanarak bu türden konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipli integral eşitsizlikleri elde edilmiştir. Daha sonra sırasıyla m-konveks, (?,m)-konveks, log-konveks, quasi- konveks, s-konveks, r-konveks ve h-konveks fonksiyonlar için yeni integral eşitsizliklerinin yanı sıra bazı genelleştirmeler elde edilmiştir. Ayrıca bu eşitsizliklerin bazılarının ispatında iki katlı integraller için Hölder ve power mean eşitsizlikleri kullanılmış ve çalışmada elde edilen sonuçlardan birçoğunun literatürü desteklediği gözlemlenmiştir.

In this thesis, some different types of convex functions were analyzed and integral inequalities were obtained for those types of functions. First part is the introduction part that includes information about the studies that have been performed on convex functions and inequalities until now. Basic definitions, theorems and some special means of positive real numbers which were used in the study are given in the second part. In the third part, firstly, E-convex set, strongly E-convex set, E-convex, semi E-convex, E-quasi convex, strongly E-convex and semi-strongly E-convex function concepts were given. Secondly, some other different types of convex functions and the basic attributes of those functions were included. Finally, in addition to Hermite-Hadamard type inequalities for convex functions, some lemmas used for the proof of those inequalities and inequalities obtained in this study were given. In the fourth part, firstly, E-m-convexity concepts were defined and Hermite-Hadamard type integral inequalities were obtained. Then, besides new integral inequalities, some generalizations were obtained for m-convex, (?,m)-convex, log-convex, quasi-convex, s-convex, r-convex and h-convex functions, respectively. In addition, in the proof of some of those inequalities, Hölder and power mean inequalities for double integrals were used and it was observed that most of the results obtained from the research supported the literature.