Riemann yüzeyleri üzerinde kapalı eğrilerin winding sayıları

Abstract

ÖZET Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, bazı temel tanım ve teoremler verildi. İkinci bölümde, bir yüzey üzerinde bir eğrinin eğrilikleri tanımlandı ve bazı metriklerde eğriliklerin hesabı yapıldı. Ayrıca Turning Tanjant Teoremi ve Gauss - Bonnet Teoremleri ifade ve ispat edildi. Üçüncü bölümde, derece. Winding sayısı ve Gauss dönüşümü tanımlanarak bunlar arasındaki ilişki incelendi. Ayrıca Winding sayısı, Gauss dönüşümü ve Euler karakteristiği ara sındaki bağıntılar verildi. Bir yüzey üzerindeki eğrinin Winding sayısı ve genüsü arasındaki ilişki ele alındı. U. Pineal 1 tarafından verilen önerinin yanlış olduğu bir örnek ile gösterildi.

V I SUMMARY This thesis consists of three chapters: In the first chapter, some basic definitions and theorems have been given. In the second chapter, the curvature of the curve that is defined on a surface is defined and the curvature is computed for some metrics. Moreover, Rotation Tangent Theorem and Gauss Bonnet Theorems are stated and proved. In the third chapter, the degree of a map, winding number and Gauss map are defined and relationships among these notions are examined. Furthermore, the relationships among the winding number, Gauss map and Euler characteristic are given. The relationship between winding number, and genus of a curve on a surface is obtained. U. Pincall's conjecture is proved to be false.