Quasi optiğin durgun denklemi için lions fonksiyonelli optimal kontrol problemi ve onun nümerik çözümü

Abstract

Bu tezde, Quasi optiğin durgun denklemi için optimal kontrol problemi ele alınmıştır. İlk bölümde optimal kontrol teorisi hakkında genel bir giriş yapıldıktan sonra, ikinci bölümde tezde kullanılan teoremler, lemmalar ve bazı matematiksel kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, Quasi optiğin durgun denklemi için bir optimal kontrol problemi ele alınmıştır. Bu problem için olası kontroller kümesi, ölçülebilir karesel integrallenebilir fonksiyonlar uzayıdır. Bu problem için, başlangıç-sınır değer probleminin çözümünün varlığı ve tekliğine ait teorem verilmiş, optimal kontrol probleminin iyi konulmuş olması için gerekli olan sorular incelenmiş, fonksiyonelin diferansiyellenebilir olduğu gösterilmiş ve optimal kontrol probleminin çözümü için varyasyon eşitsizliği şeklinde gerek şart elde edilmiştir. Daha sonra, bu bölümde ele alınan optimal kontrol problemine sonlu farklar yöntemi uygulanmış ve sonlu fark yaklaşımlarının fonksiyonele göre yakınsaklığı ispatlanmıştır. Dördüncü bölümde elde edilen bulgular verilmiş olup, beşinci bölümde bu tezin önceki çalışmalardan farklılığı vurgulanmıştır.

In this thesis, the optimal control problems for stationary equation of Quasi optic are considered. In the first chapter, after giving a general introduction about the optimal control theory, in the second chapter, theorems, lemmas and some mathematical concepts used in this thesis are presented. In the third chapter, a optimal control problem for stationary equation of Quasi optic equation is considered. For this problem, set of probable controls is space of measurable squarel integrable functions. For this problem, the existence and uniqueness of the solution of initial boundary value problem is given, the questions which are necessary for checking whether optimal control problems are well posed are investigated, it is showed that functional is differentiable and a necessary condition in the form of variation inequality for the solution of optimal control problems is obtained. Then, respectively, the finite difference method is applied to this optimal control problem considered in this chapter and the convergence of the finite difference approximation according to the functional is proved. In the fourth chapter, obtained findings are given and it is emphasized that this thesis different from the former studying in the fifth chapter.