Gösterimlerin kenetlenme sayısı

Abstract

ÖZET Kenetlenme sayısının Gösterim Teorisinde önemli bir rolü vardır. Gerçekten, bir indirgenemez gösterimin herhangi bir gösterimdeki katilliği, bir gösterimin indirgenemez olup olmadığı, iki tam. indirgenebilir gösterimin ortak bir indirge nemez gösterime sahip olup olmadığı vb. problemler drekt kenetlenme sayısı yar dımıyla çözülebilir. Kenetlenme sayısının diğer önemli bir uygulamasına örnek ola rak Simetrik Grupların primitif idempotentlerinin bir tam sisteminin elde edilme si verilebilir. (Bayar.1969). A. J. Coleman çalışmasında (Coleman, 1966) Simetrik Grupların bazı özel indir genebilir gösterimlerinin kenetlenme sayılarını belli polinomlarm katsayıları yardımıyla hesaplamayı amaçlamıştır. Bu amaca ulaşmasında Kenetlenme Sayısı Te oremi çok önemli bir rol oynamıştır. Kenetlenme Sayısı Teoremi; indüklenmiş gösterimlerin kenetlenme sayısının bilinen gösterimlerin kenetlenme sayıları yardımıyla hesaplanabileceğini göster mesi bakımından bir redüksiyon formülü niteliğindedir. Diğer taraftan bu formül yardımıyla bir indüklenmiş gösterimin indirgenemezliği kolaylıkla test edilebilir. Dolayısıyla bu teorem bir grubun indirgenemez gösterimlerinin belirlenmesinde bir kriter niteliği taşır. Coleman yukarıda ifade edilen amacına ulaşırken Karakter Teoriyi ve karakter yardımıyla elde edilen, brim gösterimin bir gösterim içersindeki kenetlenme sayısı formülünü esas almıştır. Bu çalışmada Kenetlenme Sayısı Teoremi Karakter Teori kullanılmaksızın Modül Teorisi yardımıyla elde edilmiştir. Coleman' m yukarıda adı geçen çalışmadaki sı rası esas alınıp çalışmadaki gösterimlerin ve bunlarla ilgili teoremlerin Modül karşılıkları, verilmiştir.. Bu çalışmada kullanılan Grup, Halka, Cisim, Vektör Uzayı, Cebir ve Modül kav ramlarının ve bunlarla ilgili temel teoremlerin bilindiği varsayılmıştır. Bu kav ramlar (Curtis ve diğ, 1962) kitabında mevcuttur. Çalışma iki bölüm halinde sunulmuştur. I. Bölümde Grup Gösterimlerinin tanımı ve temel özellikleri, Yarıbasit Halkalar ve Tensör Çarpımı verilmiştir. II. Bölüm de Kenetlenme Sayısı kavramı verildikten sonra İndüklenmiş Gösterimler incelen miştir. Mackey' in Altgrup Teoremi ve Çarpım Teoremi verilerek Kenetlenme Sayısı Teoremi elde edilmiştir. IV

SUMMARY The subject of this study is to give the Intertwining Number Theorem by- using the Module Theory. The Intertwining Number is important in the Represen tation Theory of Groups. Indeed, the number of times that an irreducible rep resentation is contained in a completely reducible representation, whether a representation is irreducible, whether two representations have one irreducible representation, e.t.c. can be solved by using the Intertwining Number. Another important application of the Intertwining Number is to find out a full set of primitive idempotents of Symmetric Groups. (BAYAR, 1969) A.J. Coleman (COLEMAN, 1966) planned to calculate the Intertwining Number of some spesific reducible representations of Symmetric Groups by using coeffi cients'.sof some polynomials. Coleman used the Intertwining Number to get his purpose. The Intertwining Number Theorem is a kind of reduction formula since it is used that the intertwining Number of induced representations can be obtained by the Intertwining Number of the representations. which are known before. On the other hand, the irreducibility of an induced representation can be checked easily by using this `formula. For this reasan, this theorem is used to determine irredu cible representations of a group Coleman's idea, given above, has been based on Character Theory and the Intertwining Number Formula of the identity representation in another representa tion. In this study; 'the Interwining Number Theorem has been obtained by using.. the Module Theory without using the Character Theory. However, the order of this study is the same as Coleman's study. The Modules in this study correspond with the representations of Coleman's study.It has supposed that the definitions and basic properties of Group, Ring Field, Vector Space, Algebra and Module which have been used in this study are known. These subjects can be found (CURTİS, REINTER, 1962). This study is consist of two parts. In the first part; basic definitions §#4 theorems of group representations, Semi-simple Rings, Tensor Product and Contragredient Representation have been given. In the second part; after giving the definitions and basic properties of the Intertwining Number, the induced representations, the Mackey's Subgroup Theorem and the Product Theorem have been expressed. As a result, the Intertwining Number Theorem has been given. VI