Artinian cebirlerin gösterimleri

Abstract

Bu çalışmanın amacı, birim elemanlı bir F-cebir A nın F-gösterimlerinin F1(A,F) kategorisi ile A-sol modüllerin ^kategorisi arasındaki kategorik denkliğin Özelliklerini A nın Artinian cebir olması durumunda derlemektir. Bu amacımızı iki adımda gerçekleyeceğiz. (I). F-cebir A yarıbasittir. (II). F-cebir A yarıbasit değildir. 0. Bölümde çalışma için gerekli olan bazı kavramlar minimal hacimde verilmeye çalışılmıştır. Ancak kardinal sayıların okuyucu için bilindiği kabul edilmiştir. 1. Bölümde A-sol modül M in A-sol altmodüllerinin A(M) kafesini tanıtarak başladık. M in yarıbasitliği tanımı olarak A(M) in komplimentlenebilir bir kafes olmasını aldık. Basit modüllerin Schur karakterizasyonundan sonra Artinian ve Notherian modüller tanıtıldı. Artinian ve Notherian özellikler genelde birbirinden bağımsız olduğundan yarıbasit modüller için Artinian, Notherian ve sonlu üretenli olma koşullarının denkliği verildi. R-cebir A nın yarıbasit ligini regüler A-sol modül.A nın yarıbasit olmasıyla tanımladık. D bir bölme cebiri, nâ1 olan bir doğal sayı olmak üze re, M (D) n satır n sütünlu karematrislerin D-cebiri Artinian basit cebir- ' n lerin izomorfi sınıflarının temsilcisi olarak karşımıza çıkar. Wedderburn Yapı Teoremi yarıbasit cebirlerin izomorfi sınıflarının, s£1. D^ bölme cebir- ş leri n.S1, 1^iSs olmak üzere + M,,. (D.) cebirleri olduğunu söyler, ı 1=1 ll! ı 1. bölümü sonlu bir grubun FG grup cebirinin yarıbasitliği için bir kriter olan Maschke Teoromini vererek kapattık. Böylece ilk amacımıza ulaşmış olduk. I. adım II. adımın ön hazırlığı niteliğindedir. II adıma ikinci bölümde başladık, tik olarak bir R-eebir A nın tüm maksimal sol ideallerinin arakesitinin tanımlandığı kümeyi J(A) ile gösterelim. J(A) A nın bir iki- yanlı ideali olup ona A nın Jacobson radikali denir. A Artinian ve J(A)=0 olması A nın yarıbasitliği için gerek ve yeter olan bir kriter olduğundan A=A/,.,. faktör cebirinin yapısı A nın yapısını tanımakta büyük bir öneme

The aim of this study is to investigate the properties of categorical equivalence between the categrary F1(A,F) of F-representations of an F-algebra A with and the category JJ} of left A-modules whenever A is an Artinian algebra. We'll do this in two steps. (I). F-Algebra A is semisimple. (II). F-Algebra A is not semisimple. In Chapter 0, some notions required in the study were given in a way which comprise minimum volume, but it has been assumed that the Cardinal Numbers are known by the reader. We started to Chapter I by introducing lattice A(M) of left A-submodules of left. A-module M. As the definition of semisimplicitiy of M we took the A(M) 's compliment ability as a lattice. After the Schur characterization of simple modules, the Artinian ond Notherian modules were introduced. The equivalence of conditions for semisimple modules for being Artinian, Notherian and finitely generated were given since Artinian and Notherian properties are independent from each other in general. We defined the semis imp li city of R-algebra A as regular left A-module A's s emi simplicity. Whenever D is a division algebra and n is a natural -ft. number with n^1, the D-algebra M (D) of matrices with n column and n row is the representative of isomprphy closses of simple Artinian algebras. The Wedderburn Structure Theorem states that the isomorphy classes of s semisimple algebras are 4- M,,.^) algebras where sg1, D^ are division i=1 *. st algebras and n^^1, 1<i<s. We completed the 1 Chapter by giving Maschke Theorem which is a criteria for semis imp li city for a group algebra FG of a finite group. So we completed the first step. The first step is a preliminary for the second one. We started to the second stage with Chapters II. First of all let us denote the set determined by intersection of all maximal left ideals of an R-algebra A by J(A). J(A) is a two-sided ideal of A and it is called as Jacobson radical of A. The structure of factor algebra Â=A/t/,.n of A has a great importance in detecting the structure of A since being A Artinian and being J(A)=0 is a necessary and sufficient criteria for A to be semisimple. Since J(A)=0, Â is semisimple if A is Artinian. Whenever A is Artinian for a natural VI 1number k>0, J (A) =0. From here it has been given that; whenever G is a finite grup, for a group algebra FG, J(FG)=0 if K.(F),n-Gl and, whenever H is a normal p-sylow subgroup of G and k.(F)= pg, J(FG)= £ FG(x-1). x6H-{l} By adapting the notions used in semisimple algebras to Artinian algebras we showed that the simple modules indecomposable modules and, we characterized an indecomposable module, in case endomorphyalgebra is a local algebra, whenever Schur's Lemma is applied to indecomposable modules. We investigated the Remark decompositions which consist of indecomposable modules of finetely generated modules over Artinian algebras by giving Krull- Remark-Schmidt Theorem (2.36). At the end of Chapter II we investigated the properties of categorical equivalence between the category 1 (A,F) of F-representations of an Artinian F-algebra A with unity and the category (((of left A-modules. Using this we obtained the F-representations of a finite group G by using the F-representations of group algebra FG. Indecomposable modules over Artinian algebras play an important role in studying the structure of algebra. For this reason we investigated the structure of projective modules over Artinian algabras in the last chapter. Using the property ^A^JGOP» Q/J(A)Q} = H°mA/J(A)(P/J(A)Q' Q/J(A)Q} we gave the categorical equivalence between the category ((/of left A-modules and the category A/, {(( of left A/, v -modules. The categorical relation gain more importance when A is an Artinian R-algebra and P,QG are projective. Therefore structure theorem for projective modules has been given by giving the definition of principally indecomposable A-modules which constitute the base of projective modules over Artinian algebras. After giving the definition of idempotent and primitive idempotent notions we showed that every Artinian R-Algebra, the primitive idempotents e.,e