Ayrık zamanda optimal dizge tanısı

Abstract

ÖZET Bu çalışmada, doğrusal ve zamanla değişmeyen bir girişli-bir çıkışlı ayrık zamanlı dizgenin tanısında ve model indirgemesinde kullanılan bir yaklaşıklılık algoritması geliştirilmiştir. Burada önerilen algoritma, örnekleme anlarındaki birim vuruş tepke değerleri dizisinden z-degişkenine bağlı bir rasyonel işlevi dizge modeli olarak bulan,tüm aritmetik işlemleri z-düzleminde yapan, doğrudan, yinelemesiz bir yöntemdir. Yöntemde özgün ve yaklaşık dizge birim vuruş tepke değerleri arasındaki en küçük kareler yanılgısının minimizasyonu kullanılır. Minimizasyon sonucunda, yaklaşık dizge işlevinin bilinmeyen pay-payda katsayılarına bağlı doğrusal, sabit katsayılı denklemler takımı elde edilir. Denklemler takımının doğrudan çözümü ile tüm parametreler bir adımda hesaplanıp dizge tanısı bütünüyle gerçeklenir. Ancak minimizasyon sonucunda elde edilen eşitlikler bir dizi aritmetik işlemlerle biri pay katsayıları biri de payda katsayılarına bağlı iki ayrı cebirsel denklemler takımına ayrılabilir. Böylece daha az bilgisayar zamanı ve belleği kullanılarak, daha yüksek doğrulukta dizge tanısı yapılması sağlanır. Dizgeye ilişkin çıkış ölçümlerinden dizge tanısı yapılması durumunda yaklaşık dizgenin minimal derecesinin tahmini için Hankel matrisi rank kavramından yararlanılır. Gerçek ve yaklaşık dizge işlevleri arasındaki [0,°°) zaman aralığındaki karesel yanılgı tümlevi, yalnızca fark işlevinin katsayılarını kullanan bir algoritma ile hesaplanmaktadır. Yöntem, yüksek dereceden geçiş işleviyle veya durum modeliyle verilmiş bir dizgenin model indirgemesine de uygulanabilmektedir Yöntemin FORTRAN 77 dilinde bilgisayar yazılımı yapılarak, hızlı ve yavaş değişen ölçülmüş çıkış değerlerinden dizge tanısına ve geçiş işleviyle veya ayrık durum modeliyle verilmiş yüksek dereceli dizgelerin model indirgemesi sorunlarına uygulanmıştır. Yöntem, daha önce önerilen benzer yöntemlerde ele alınan örneklere de uygulanıp sonuçlar karşılaştırılmıştır. Bu yöntemin uygulandığı örneklerde özgün ve yaklaşık dizge tepkelerinin kimi örneklerde sürekli durumda tam çakışmamasına karşın, geçici durumlarda diğer yöntemlerin çoğuna göre çok daha iyi uyum sağladığı gözlenmiştir. VI

ABSTRACT In this thesis an approximation technique is improved for identification and model reduction of the single input- single output linear discrete time-invariant dynamic systems. The algorithm proposed provides as a system model a real rational function with constant coefficients in z-transform variable using the sampled-data of its unit impulse response. It is a direct and non-iterative technique and performs all arithmetical operations in z-domain. It uses the least squares algorithm minimizing the error between unit impulse response of the original and approximated models. After minimization a linear simultaneous algebraic set of equations with constant coefficients is formed in terms of the unknown coefficients of numerator and denominator of the approximated system. All coefficient parameters are determined by solving this set of equations in one step and thus system identification is completely realised. The identified system is always stable if its original system is stable. In order to design high order systems with high accuracy and to use less computer memory and time, the normal set of algebraic equations is separated into two sets of equations, the first in terms of the unknown coefficients of denominator and second in terms of those of numerator by via a simple arithmetical manipulation. The minimal system order, is estimated by determining the rank of Hankel Matrices corresponding to the measured sampled-data for the system to be identified. The true error between the original and approximated responses is measured by an integral squared error algorithm using only the coefficients of original and computed system functions in the time interval [0,~). This new method is also applicable to the simplification of systems given in the form of system function or state model. A FORTRAN 77 programme is developed for this noval algorithm. It is applied to a number of examples whose unit impulse responses vary sharply and slowly for identification, and separately to the system functions and state model in high order for model reduction. Examples which have been previously dealt with similar other algorithms are tried with the proposed algorithm, for comparison of results. These computational experiments have illustrated that the accuracy is quite high for higher order systems and for the transient section of the original and approximated responses. It has been observed that approximated responses do not fit completely on the steady- state section for a few rare examples. VII