Afin ve projektif geometrinin aksiyomları

Abstract

ÖZET Bu çalışmada E. Artin'in `Geometric Algebra` adlı kitabı temel alınmıştır. E. Artin bu kitabında bir afin düzlemin koordinat lanması problemini incelemiş ve bununla ilgili bazı aksiyomlar vererek bun ların yardımıyla koordinatların tanımlanmasını sağlamıştır. üç bölüm halinde düzenlenen bu çalışmanın birinci bölümü diğer bölümler için bir hazırlık niteliğinde olup, bazı temel kavramlar (Grup, Halka, Modül, Katagori, Funktor,..,. v.b.) ve teoremler (ispat- sız olarak) verilmiştir. İkinci bölüm ise büyük ölçüde Jeo Lipman'ın çalışmasından oluş maktadır. Burada, boştan farklı bir küme ve bu küme üzerindeki dönü şümler grubu ele alınarak `geometri`, `doğru`, `paralel doğrular`, `bir noktanın izi` ve `öteleme` gibi bazı kavramlara ait tanımlar ve rilmiş ve bunlara ilişkin temel özellikler incelenerek afin yapının, gerçekte grubun geçişme özellikleri hakkında varsayımlar olan iki geo metrik aksiyom ( aksiyom î ve aksiyom 2 ) tarafından belirlendiği ifa de edilmiştir. Alex D. Gottlieb ve Joseph Lipman'ın ortak bir çalışmasının ince lendiği üçüncü ve son bölümde ise elemanları basit aksiyomlara bağlı HcG grup çiftlerinden oluşan belirli bir G katagorisinin; boyutu ikiden büyük veya eşit olan vektör uzaylarının ve yarı lineer bire-bir dönü şümlerin katagorisine denk olduğu gösterilmiştir. II

SUMMÂRf This study is based on the book `Geometric Algebra` of E. Artin, In his book, E. Artin has posed the problem of co-ordinatizing an affine plane and by giving some axioms concerning this problem he has been able to introduce the coordinates. This study consists of three chapters. The first chapter is a preparation for the following ones and some fundamental concepts (Group, Ring, Module, Catagory, Functor, etc.) and some theorems (without proof) have been given in this chapter. The second chapter consists mainly of a study of Joe Lipman. Here, by starting out with a non-empty set and a group of transforma tions on this set, some concepts such as `geometry`, `straight lines` `parallel lines`, `a trace of a point` and `translation` have been given. After discusing the basic properties of these concepts it has been shown that the affine structure is determined by two geometric axioms (axioms 1 and axioms 2), which are really assumptions about the transitivity properties of the group. In the last chapter a joint paper of Alex D. Gottlieb and Joseph Lipman has been studied. Then it has been shown that; a certain cate gory G whose elements are pairs GdH of groups subject to simple axioms is equivalent to the category of 12- dimensional vector spaces and incective semilinear maps. III