Lokal endomorfizma halkaları

Abstract

iv ÖZET Bu çalışma üç bölümden İbarettir. Birinci bölümde, re- güler modüllerin endomorfizma halkalarının (von Neumann) re- güler halka olduğu incelendi. Bir değişmeli halka üzerinde endomorfizma halkası regüler olan bir projektif modülün re- güler modül olduğu gösterildi. Ayrıca projektif bir modülün lokal olması için gerek ve yeter koşulun EndM nin lokal halka olduğu da gözlendi. Buna denk olarak modülün tek maksimal altmodüllü bir cyclic modül olduğu ispatlandı. Daha genel olarak bir projektif modülün bir semiperfect endomor fizma halkasına sahip olabilmesi için gerek ve yeter koşulun lokal modüllerin bir dik toplamına izomorf olduğu, bir projektif modülün sol perfect endomorfizma halkasına sahip olması için gerek ve yeter koşulun sonlu üreteçli perfect modül olduğu gösterildi. İkinci bölümde M, sonlu n boyutlu bir modül, S = End^M ve J(S), S nin Jacobson radikali olmak üzere, S/J (S) nin her nil althalkasının nilpotent ve nilpotent indeksinin n + 1 den küçük yada eşit olduğu ispatlandı. Üçüncü bölümde R bir sağ Noether halka ve bir M sağ R- modülü için M, a -parçalanamayan injektif modül ve M sonlu boyutlu a -smooth modül durumlarında S = EndRM halkasının bölümlü halka, yarıbasit halka veya yarıbasit Artin halka olması için gerek ve yeter koşullar araştırıldı.

SUMMARY This work consists of three chapters. In the first chapter, we note that, regular endomorphism rings of regular modules are regular rings (in the sense of von Neumann). It has been shown that a projektive module over a commutative ring is a regular module, when its endomorphism ring is a regular ring. Also, it has been observed that a projektive module is regular if and only if EndM is a local ring, equvialently, it in a cyclic module with a unique maximal submodule. This has been generalized to show that a projektive module has a semiperfect endomorphism ring, if and only if it is isomorphic to the direct sum of local modules, and also a projektive module has a left perfect endomorphism ring if and only if it is a finitely generated perfect module. The second chapter is given over to a proof of the known result that, when M is a f inite n-dimensional module, and J(S) is a Jacöbson radical of S = End M every nil subring of S/J(S) is nilpotent, and the index of nilpotence is less than or equal to n + 1. In the third chapter, if R is a right Noetherian ring and M is a right R-module, we investigate the necessary and sufficient conditions, for the ring S = End`M to be a division ring, a semisimple ring or semisimple Ârtinian ring, when M is an' <* -indecomposable injektive module and M is a finite dimensional a-smooth module.