Temel gruplar

Abstract

İV ÖZET Herhangi bir topolojik uzay üzerinde, kapalı yayların homotopi bağıntısına göre denklik sınıfları kümesi ile belirlenen temel grup ilk defa Fransız Matematikçi Henry Poincare tarafından 1895 yılında tanımlanmıştır» Temel grupları daha yüksek boyutlu uzaylar içinde tanımlama ve inceleme olanağı vardır ( Massey, 196? )° Ancak bu çalışma, söz konusu grubun Riemann yüzeylerinde kullanılışının belirtilmesi amaçlandığından, 2 boyutlu manifoldlarla sınırlı tutulmuştur» Üç bölümden oluşan bu çalışmanın birinci bölümün de homotopi ve temel grup kanımı verildikten sonra bir sürekli dönüşümün temel grup üzerindeki etkisi incelenmiştir. Böylece topoloji ile cebir arasındaki yakın ilişki belirtilmiştir» İkinci bölümde, serbest çarpım, serbest grup ile ilgili tanım ve bazı özellikler verilmiştir. Daha sonra tıkız yüzeyin tanımı ve temel grubu belirlenerek, tıkız yönlendirilebilir bir manifold arasındaki ilişki araştırılmıştır. Üçüncü bölümde, herhangi bir topolojik uzayın örtme uzayı tanımı verilip otomorfizm grupları belirlenmiştir. Ayrıca topolojik uzayın temel grubu ile örtme uzayının temel grubu arasındaki ilişki gösterilmiştir. Daha sonra Riemann yüzeylarinin tanımı ve temel grubu..belirlenip, Riemann yüzeyinin temel grubu ile Riemann yüzeyinin universal örtme yüzeyinin temel grubu arasında ki ilişki incelenmiştir.

SUMMAHY The fundament el group of an arbitrary topoigical space was first defined in 1895 by the French mathematici an Henry Pomcare in terms of the set of equivalence., classes of closed paths under the relation of homotopy® With regard to manifolds^ while it is possible to define and study the fundamental group for higher dimensions (Massey9 1967 )9 most of this work has been restricted to 2- dimensions due to the usefulness of this group in the study of Riemann surfaces» Following the definitions of homotopy and fundamental group s the first of the three chapters of this work describes the action of a continuous mapping on the fundamental` group» In this way the close relation which excists between the topology and algebra is highlighted. In the second chapter, the definitions and various properties of free product and free group are given» This is followed by the definition of a compact surface and the determination of its fundamentel group as part of an inves tigation into the relation between orientable and nan-ori- entable compact manifolds® The third chapter begins with the definition on the covering space of an arbitrary topological space and pro ceeds to a description of the automorphism groups* The re lation between the fundamental groups of a topological spa ce and of its covering space is also shown. Finally a Rie- mann Surface is defined its fundamental group determined 9 and an investigation made into the relation between the fundamental groups of a Riemann surface and of its universal covering space»