Dedekind-benzer halka modülleri

Abstract

IV ÖZET Bu çalışma dört bölüm olarak hazırlanmıştır. ön bilgiler bölümünde bilinen temel tanımlar ve özellikler verilmiştir. Birinci bölümde ise bir temel ideal bölgesi üzerinde tanımlı sonlu üreteçli modüllerin, devirli altmodüllerin direkt toplamı olarak yazılabileceği ispatlanmıştır. ikinci bölümde, Dedekind, bölgeleri ile Dedekind bölgeleri üzerindeki modüller incelenmiştir. Dedekind bölgelerinin yapısı tetkik edilmiş ve bir Dedekind bölgesinin her integral idealinin iki eleman tarafından üretildiği gösterilmiştir. Bir Dedekind bölgesi üzerinde tanımlı sonlu üretilmiş torsion serbest modülün sonlu tane fraktional idealin direkt toplamı olduğu ispatlanmıştır. üçüncü bölümde Z komütatif ve birimli bir halka olmak üzere Z ©... © Z nin bazı R althalkaları üzerinde tanımlı sonlu üretilen modüllerin direkt toplam ayrışımlarının tekliğinin doğru olmadığı, modüllerde sadeleştirmenin (A © B = A © C '=> B S C) doğru olmadığı, n-inc i kök özelliğinin n n (© M ~ © N => M = N) doğru olmadığı, lokalizasyon değişim özelliğinin (H © K = M ® N, Hp ~ Mp 7 Kp ~ Np fakat HQ = NQ 7 KQ = MQ ) doğru olmadığı, parçalanamayan fakat lokalizasyonu parçalanabilen modüllerin varlığı, lokalizasyonları izomorf fakat kendileri izomorf olmayan modüllerin varlığını gösteren örnekler verilmiştir.

V SUMMARY This work consists of four chapters. The introduction deals with the preliminaries and the definitions needed for later use. In the first chapter, the structure of finitely generated modules over principal ideal domains are studied and it is proved that every finitely generated module over a principal ideal domain is isomorphic to the finite direct sum of its cyclic submodules. In the second chapter, the structure of DedeKind domains along with the modules on DedeKind domains has been investigated. We have proved that, every integral ideal of a DedeKind domain is generated by two elements and also on a DedeKind domain every finitely generated torsion-free module is isomorphic to the direct sum of a finite number of fractional ideals. In the third chapter, Z denotes a commutative ring with identity, we have shown that the uniqueness of direct sum decompositions of finitely generated modules over R fails to hold, concellation of modules (A © B ^ A © C -> B & C) fails to hold, the n-th root property (© M ~ © N => M s N) fails to hold and the interchange of localizations property (H © K S M © N, Hp 5 Mp £ Kp S NP but Hq 2 Nq ^ KQ & Mq) also fails to hold over subrings R of Z © © Z. Finally the existence of isomorphic indecomposable modules having non- isomorphic localizations is proved.