Sınır değerinde özdeğer parametresi içeren regüler sturm-liouville problemlerinin özdeğerleri için asimptotik tahminler

Abstract

ÖZET Bu çalışmada sınır değerinde özdeğer parametresi içeren ry:=-y`+qy = Jly, te[a,b] c^yia) - a2y'(a) = Â(a1'y(d) - a^y'(a)), a^, a2, a,', a} reel y(b)cosfi+y'(b)smfi = 0, fi e [0,0 regüler Sturm-Liouville probleminin özdeğerleri için asimptotik tahminler elde edilmiştir. Hesaplamalarda potansiyel fonksiyonu olarak bilinen #(/)nin yeteri kadar pürüzsüz bir fonksiyon olduğu kabul edilmiştir. Birinci bölümde, regular Sturm-Liouville problemi ve ilgili teorisine yer verilmiş, bu konuda literatürde mevcut bazı önemli asimptotik tahminler ispatsız olarak sunulmuştur. Ayrıca asimptotik tahminlerin elde edilişinde kullanılan içten dışa doğru seri hesaplama yöntemine de yer verilmiştir. ikinci bölümde ise Riccati dönüşümü kullanılarak elde edilen birinci mertebe lineer olmayan bir denklem yardımıyla (7) denklemine yaklaşık çözümler bulunmuş ve bu çözümlerin (8)-(9) sınır değerlerini sağlaması için gerekli şartlar belirlenmiştir. Son olarak belirlenen bu koşullar, bazı seri açılımları ve içten dışa doğru seri hesaplama yöntemi kullanılarak ilgili problemin özdeğerleri için asimptotik tahminler elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Sturm-Liouville problemleri, Özdeğerler, Özdeğer parametresi, Asimptotiklik. IV

SUMMARY Asymptotics of Eigenvalues for Regular Sturm-Liouville Problems with Eigenvalue Parameter in the Boundary Condition In this thesis we obtain asymptotic estimates for the eigenvalues of ry--y` + qy = Jly, te[a,b] ai yip) - a2 y'(a) = Maîy(a) - fl2 V(a))> °i > ai » al > aî ree^ y(b) cos p + y'{b) sin 0 = 0, /? e [0, n) regular Sturm-Liouville problem having the eigenparameter in the boundary condition when q is smooth enough. In the first part of the study we introduce Sturm-Liouville problems and related theory. We state some important results including asymptotic estimates for solutions without proof. We also give series reversion method which is used to obtain estimates in the following chapter. In the second part; we use Riccati transformation to create a first-order non-linear equation which is used to approximate to a solution of (7). The conditions under which the boundary conditions (8)-(9) satisfied are determined. We finally, perfom a reversion of the resulting expansion to obtain asymptotic estimates for the eigenvalues. Keywords: Sturm-Liouville problems, Eigenvalues, Eigenparameter, Asymptotics.