Optimal reinsurance under competing benefit criteria
- Global styles
- Apa
- Bibtex
- Chicago Fullnote
- Help
Abstract
İflas olasılığı, bireysel hasar tutarı ve hasar sayısı dağılımı, prim hesaplama ilkeleri, sigortaşirketi ve reasürans şirketinin güvenlik yükleme faktörü gibi birçok varsayım üzerinekuruludur. Klasik risk modeli, toplam hasarın bileşik Poisson sürecine uyduğunu varsaymaktadır.Klasik risk modeli altında farklı bireysel hasar tutarı dağılımlarına gore sonluve sonlu olmayan zamanlı iflas olasılığı analizi aktüerya bilimlerinde önemli çalışma alanlarındanbiridir. Son yıllardaki çalışmalar sigorta şirketinin iflas olasılıklarının nasıl asgaridüzeye düşürülebileceği üzerine yapılmaktadır. Geçmiş çalışmalar iflas olasılığının minimumdüzeye indirilebilmesinin reasürans anlaşmaları, temettü ödemeleri ve yatırım stratejileriile mümkün olduğunu göstermektedir.İflas olasılığının minimum seviyeye düsürülmesi ile ilgili yapılan çalışmaların birçoğu genelliklereasürans anlaşmalarına dayanmaktadır.Geleneksel reasürans anlaşmaları olan hasar fazlası ve orantılı reasürans anlaşmalarındareasürans primi reasürans seviyesine ve reasürans yükleme faktörüne göre belirlenmektedir.Hasar fazlası reasürans anlaşmalarında hasar tutarının belirlenen bir saklama payı seviyesininüzerinde kalması durumunda reasürans şirketi devreye girer ve bu tutarı geçenkısım reasürans şirketi tarafından karşılanır. Orantılı reasürans anlaşmalarında ise tüm hasarınbelirlenen bir oranı reasürans şirketine devredilir. Sigorta ve reasürans şirketi arasındakiprim ve hasar paylaşımı bu oran üzerinden yapılır. Bununla birlikte geleneksel olmayanreasürans anlaşmalarında, reasürans seviyelerinin yanında sigorta şirketinin başlangıç sermayeside göz önünde bulundurulur. İflas olasılığını minimum seviyeye indirecek şekildeoptimal reasürans seviyelerinin belirlenmesi üzerine literatürde birçok çalışma bulunmaktadır.Sigorta şirketi iflas olasılığını minimum seviyeye indirmek istemesinin yanında portföy karınıve gelirini de maksimum seviyede tutmak istemektedir. Sigorta şirketinin net karı; primgelirinden, beklenen hasar tutarı ve reasürans priminin çıkarılmasıyla elde edilmektedir.Bu çalışmada, mimimum iflas olasılığı kısıtı altında sigorta şirketinin karını maksimizeedecek optimal reasürans seviyesinin belirlenmesini sağlayan yeni bir yöntem sunulmaktadır.Sonlu zamanlı iflas olasılığı kısıtı altında optimal reasürans seviyesinin belirlenmesiamaçlanmıştır.Sigorta şirketinin optimal reasürans seviyesinin belirlenmesi için optimal reasürans kriterleribelirlenmiştir. Bu kriterler sırasıyla sigorta şirketinin reasürans anlaşması nedeniyle eldeettiği sermaye kazancı, beklenen karı ve sigorta şirketinin varlığının beklenen faydası olarakbelirlenmiştir. Çalıs¸manın amacı, iflas olasılığının minimum seviyede olduğu durumda buüç kriter değerini maksimize edecek optimal başlangıç sermayesi ve optimal reasürans seviyelerininbelirlenmesidir.Tez iki temel bölümden oluşmaktadır. İlk olarak, optimal reasürans seviyesi sonlu zamanlıiflas olasılığına bağlı olarak klasik risk süreci modeli altında incelenmiştir. Klasik risk modelivarsayımları altında hasar fazlası reasürans anlaşması için optimal saklama payı seviyelerive orantılı reasürans anlaşması için optimal reasürans oranları araştırılmıştır.Bileşik Poisson sürecine sahip toplam hasar sürecinin elde edilmesinde, dönüştürülmüş¸ gamasüreci yaklaşımından yararlanılmıştır. Dönüştürülmüş gama yaklaşımı toplam hasar dağılımınınsağ kuyruk bölgesine diğer yaklaşımlardan daha iyi uyum sağlaması ve uygulama kolaylığı nedeniyle tercih edilmektedir.Sonlu zamanlı iflas olasılığı ile sigorta şirketinin sermaye kazancı, beklenen karı ve sigortaşirketinin varlığının beklenen faydası dönüştürülmüş gama süreci yaklaşımı kullanılarak eldeedilmiştir. Optimal reasürans seviyeleri, iflas olasılığının minimum olduğu durumda bu üc¸kriterin değerini maksimum yapacak şekilde belirlenmiştir.Klasik risk modeli, hasar fazlası ve orantılı reasürans anlaşmalarına bağlı olarak sonlu zamanlıiflas olasılığının 0.01 gibi minimum bir seviyede olduğu durum için incelenmiştir.Bireysel hasar tutarı dağılımı için farklı kuyruk yapısına sahip olan üstel ve Pareto dağılımlarıvarsayılmıştır. Her iki dağılıma göre elde edilen optimal saklama payları ve optimal reasüransseviyeleri karşılaştırılmıştır.İkinci olarak, alt bariyer model (lower barrier model) kapsamında optimal başlangıç sermayesive bariyer seviyelerinin belirlenmesi amaçlanmıştır. Alt bariyer model, değiştirilmişrisk süreci (modified surplus process) altında incelenmektedir. Bu sürec¸ geleneksel reasüransanlaşmaları olan hasar fazlası ve orantılı reasürans anlaşmalarına dayanmamaktadır. Bununlabirlikte bu reasürans anlaşması bireysel ve toplam hasar dağılımına da bağlı olmayıp doğrudansigortacının risk sürecine göre şekillenmektedir.Alt bariyer modelde, başlangıç sermayesinden küçük olacak şekilde (k < u) bir k bariyerseviyesi belirlenir. Reasürans şirketi, risk sürecinin bu seviyenin altına düşmesi durumundadevreye girer ve risk sürecini tekrar bariyer seviyesi olan k'ye yükseltecek şekilde ek birödeme yapar. Reasürans şirketinin karşılayamayacağı miktarda bir hasar gelmesi durumundarisk süreci sıfırın altına düşecek ve iflas gerçekleşmiş olacaktır. Reasürans şirketi yaptığı buödemeye bağlı olarak reasürans primi talep eder. Alt bariyer modelde sonlu zamanlı iflasolasılığı, iflas zamanının dağılım fonksiyonuna bağlı olarak elde edilmektedir.Optimal reasürans ve optimal bariyer seviyelerinin belirlenmesinde, Çok Nitelikli KararAnalizi'nden yararlanılmıştır. Bu kapsamda `Technique for Order of Preference by Similarityto Ideal Solution (TOPSIS)` yöntemi, Mahalanobis uzaklık ölçümü kullanılarak uygulanmıştır.Bu çalışmada ayrıca, sonlu zamanlı minimum iflas olasılığı kısıtı altında optimal reasüranskriterlerini maksimum yapacak şekilde optimal bariyer ve optimal reasürans seviyeleri sayısalolarak incelenmiştir. Ayrıca, duyarlılık analizi ile farklı varsayımlara göre sonuçlar karşılaştırılarak optimal reasürans ve optimal bariyer seviyelerindeki değişimler gözlemlenmiştir.Tezin birinci bölümünde; çalışmanın amacı, aşamaları ve her bir bölümün kısa özeti verilmiştir. İkinci bölümde; klasik risk modeline giriş yapılmış ve bu modelin temel bileşenleri vevarsayımları açıklanmıştır. Bu kapsamda ilk olarak hasar tutarı dağılımının belirlenmesindekullanılan yaklaşımlar karşılaştırılmış ve sonuç olarak dönüştürülmüş gama yaklaşımınındiğer yaklaşımlara göre toplam hasar tutarının özellikle sağ kuyruk bölgesine daha iyi uyumsağlaması nedeniyle tercih edildiği belirlenmiştir. Ayrıca çalışmanın bu bölümünde sonluve sonlu olmayan zamanlı iflas olasılığının hesaplanmasına ilişkin formül ve yaklaşımlarsunulmuştur.Üçüncü bölümde, iflas olasılığı kısıtı altında optimal reasürans seviyesinin belirlenmesi ile ilgililiteratürdeki çalışmalar özetlenmiş ve temel alınan kriterlere bağlı olarak sınıflandırılmıştır. Çalışmalar baz alınarak üç önemli kriter tarafından oluşan optimal reasürans kriterleribelirlenmiştir. Bu kriterler sigorta şirketinin reasürans anlaşması nedeniyle elde ettiği sermayekazancı, beklenen kar ve beklenen fayda olarak belirlenmiştir. Bu üç kriterin reasüransseviyelerine bağlı olarak nasıl hesaplandığı gösterilmiştir.Dördüncü bölümde, iflas olasılığı kısıtı altında optimal reasürans modellemesi yapılmıştır.Reasürans anlaşmasının geçerli olması durumunda sigorta şirketinin sonlu zamanlı iflas olasılığıdönüştürülmüş gama süreci yaklaşımı altında incelenmiştir.Minimum iflas olasılığı kısıtı altında sigorta şirketinin sermaye kazancının, beklenen karınınve beklenen faydasının reasürans seviyesine bağlı olarak dönüştürülmüş gama süreci yaklaşımıaltında nasıl hesaplanacağı araştırılmıştır.Optimal başlangıç sermayesi ve reasürans seviyesinin belirlenmesi aşamasında çok niteliklikarar analizinden yararlanılmıştır. Bu kapsamda TOPSIS yöntemi kullanılmıştır. Belirlenenüç kriter sigorta şirketinin başlangıç sermayesi ve reasürans seviyelerine bağlı olarak eldeedildiğinden kriterler arasında güçlü bir bağımlılığın olduğu görülmüştür. Bu nedenle ökliduzaklık ölçüsü yerine değişkenler arasındaki bağımlılığı da göz önünde bulunduran Mahalanobisuzaklık ölçüsü kullanılmıştır.Beşinci bölümde, dönüştürülmüş gama yaklaşımı altında optimal reasürans analizi yapılmıstır. Öncelikle hasar fazlası reasürans anlaşmasına göre; optimal saklama payı seviyeleri veoptimal başlangıç sermayeleri farklı zaman tercihi ve yükleme faktörlerine göre hesaplanmışve değerler karşılaştırılmıştır. Orantılı reasürans anlaşması için optimal reasürans oranı veoptimal başlangıç sermayeleri farklı zaman süreleri ve yükleme faktörleri için hesaplanmıştır.Her iki reasürans anlaşması için de bireysel hasar tutarının üstel ve Pareto dağılımlarına uymasıdurumları incelenmiş ve sonuçlar karşılaştırılmıştır. Ayrıca çalışmanın bu bölümünde kriter ağırlıklarının ve beklenen fayda fonksiyonu parametresinin değişiminin optimal reasüransseviyeleri üzerindeki etkileri duyarlılık analizi ile incelenmiştir.Altıncı bölümde, değiştirilmiş risk sürecine bağlı olarak alt bariyer model araştırılmıştır. Nievd. [1] tarafından önerilen k bariyer seviyesi ve u bas¸langıc¸ sermayesi olmak ¨uzere Tu,k iflaszamanının dağılım fonksiyonundan yararlanılarak sonlu zamanlı iflas olasılığı incelenmiştir.Bireysel hasar tutarının üstel dağılması varsayımı altında, alt bariyer model için iflas zamanınındağılım fonksiyonu elde edilmiştir. Bu kapsamda reasürans primi, net yüklemefaktürü kullanılarak modele dahil edilmiş ve böylece reasürans anlaşmasının etkisi gözlemlenmiştir.Yedinci bölümde, iflas olasılığı kısıtı altında optimal bariyer seviyesi alt bariyer model içinbelirlenmiştir. Öncelikle alt bariyer model kapsamında sonlu zamanlı iflas olasılığının hesaplanmasıiçin gerekli formül ve yaklaşımlar açıklanmıştır. Alt bariyer modele göre sırasıyla sigorta şirketinin sermaye kazancının, beklenen karının ve beklenen faydasının nasıl hesaplanacağı gösterilmiştir. Optimal başlangıç sermayesi ve optimal bariyer seviyesinin belirlenmesi aşamasında TOPSIS yöntemi Mahalanobis uzaklık ölçüsü ile kullanılmıştır.Bireysel hasar tutarının üstel dağılması varsayımına göre optimal bariyer seviyeleri farklı zamanve güvenlik yükleme faktörlerine göre hesaplanmıştır. Ayrıca çalışmanın bu bölümündekriter ağırlıkları ve beklenen fayda fonksiyonu parametresi değişimlerinin optimal bariyerseviyeleri üzerindeki etkileri duyarlılık analizi ile incelenmiş ve sonuçlar değerlendirilmiştir.Çalışmanın son bölümünde minimum iflas olasılığı kısıtı altında sigorta şirketinin sermayekazancını, beklenen karını ve beklenen faydasını maksimum yapacak optimal reasürans seviyesininbelirlenmesi amacıyla geliştirilen model üzerine genel bir değerlendirme yapılmıştır. Önerilen yaklaşım ve model ile ilgili çeşitli yorum ve açıklamalar verilmiştir. Çalışmanınsonuçları hakkında genel bir değerlendirme ile birlikte gelecek araştırmalar için önerilerdebulunulmuştur.Anahtar Kelimeler: Risk kuramı, sonlu ve sonlu olmayan zamanlı iflas olasılığı, alt bariyermodel, optimal reasürans, sermaye kazancı, beklenen kar, beklenen fayda, TOPSIS. In this thesis, we present a new approach to decide the optimal reinsurance under the minimumruin probability and maximum profit of the insurance portfolio. Based on the fundamentalworks in the context of finite time ruin probability, we are concerned with thereinsurance level of an insurance policy.In this context, we develop optimal reinsurance criteria which consider three quantities thataffect the optimal reinsurance level: released capital, expected profit, and expected utilityof resulting wealth. We aim to find the pair of initial surplus and reinsurance level whichminimises the finite time ruin probability and maximises the output of these three quantitiesas well.Firstly, we impose the classical risk model and ruin probability on problem of selecting anoptimal reinsurance level in finite time horizons.We consider the classical risk model under a reinsurance arrangement either excess of lossor proportional. We use the translated gamma process to approximate the compound Poissonprocess.Having the results for the finite time ruin probability on the translated gamma process approximation,we then step further into the lower barrier model which is directly related tothe insurer's surplus process. This modified surplus process does not depend on the traditionalreinsurance arrangements which are either excess of loss and proportional reinsurance.Moreover, this surplus process is neither based on the individual nor the aggregate claim process,but based only on the insurer's surplus. The lower barrier model is interpreted as whenthe insurer's surplus falls below a certain lower barrier level, the reinsurance company makesa capital injection to close the gap and raises the surplus back to this level. The reinsurancepremium is calculated according to this capital injection amount. The distribution functionof the time to ruin is used to obtain the finite time ruin probability on lower barrier model.We apply methods from multiple attribute decision making (MADM) in order to decide anoptimal reinsurance or optimal barrier level. In particular, we apply the `The Technique forOrder of Preference by Similarity to Ideal Solution (TOPSIS)` method with Mahalanobisdistance. We consider the classical risk model under a reinsurance arrangement-either excessof loss or proportional-and we consider scenarios that have the same finite time ruinprobabilities. We compare and contrast our results for the exponential and Pareto distributionwhich have different tail behaviors.We build numerical analysis to show how the optimal reinsurance or lower barrier level arecalculated under the minimum ruin probability constraint according to the maximum valueof the optimal reinsurance criteria quantities. We compare and contrast our findings withthose when decisions are based on different assumptions on sensitivity analysis.Keywords: Risk Theory, finite and infinite time ruin probability, lower barrier model, optimalreinsurance, released capital, expected profit, expected utility, TOPSIS.
Collections