Kademeli halkalar, modüller ve çokkatlılık

Abstract

Tez çalışmamız, Cebir ve Geometri alanlarında önemli bir yere sahip Kademeli Halka ve Kademeli Modül kavramları ve bunlar ile ilgili ortaya atılmış bazı düşünceler üzerindeki araştırmalarımızı kapsamaktadır. Bir kademeli modül ile ilişkilendirilen önemli bir değişmez (invaryant) homojen bileşenlerin büyüklüğünü ölçen `Hilbert Fonksiyonu` olarak karşımıza çıkmaktadır. Tezimizde ayrıca Hilbert fonksiyonlarından okunan çokkatlılık kavramı da çeşitli yön ve boyutlarıyla ele alınmıştır.Tez çalışmamız beş bölümden oluşmaktadır. Giriş kısmında diğer bölümlerde kullanılan Halka ve Modül Teorisi'nin temel kavramlarına ve teoremlerine yer verilmiştir.İkinci bölümde kademeli halka ve modüller tanıtılarak homojen eleman ve ideal kavramları açıklanmıştır. Daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan özel kademeli halkalar ve modüller ele alınmıştır. Kademeli bir modülün bir homojen ayrışabilir alt modülünün, bütün bileşenleri homojen olan asıl ayrışıma sahip olup olmadığı sorusu incelenmiştir.Üçüncü bölümde çokkatlı sistemler ele alınarak, D. J. Wright tarafından ortaya atılan `genel çokkatlılık sembolü` tanıtılmış ve özellikleri incelenmiştir. C. Lech tarafından verilen, çokkatlılık sembolü için limit formülü elde edilmiştir.Dördüncü bölümde x1, …, xs, 1–dereceli homojen elemanlar olmak üzereR = R0[x1, …, xs] kademeli halkası üzerinde tanımlanan Hilbert ve Hilbert-Samuel fonksiyonları incelenmiştir. Ayrıca Hilbert fonksiyonları üzerinde verilen sonuçların bir uygulaması olarak P. Samuel'in çokkatlılık sembolü için verdiği bir diğer limit formülü elde edilmiştir. Ek olarak, Hilbert fonksiyonlarının Cebirsel Geometri'de çeşitlemlerin boyutlarını belirlemede nasıl kullanıldığı üzerinde durulmuştur.Son bölümde ise çokkatlılık kavramını homolojik açıdan ele almamızı sağlayan Koszul kompleksler ve özellikleri incelenmiştir. Bu bölümün en önemli sonucu olarak, Koszul kompleksleri yardımıyla tanımlanan Euler-Poincaré karakteristiğini kullanarak daha önce farklı biçimlerde tanımlanan çokkatlılık sembolleri arasındaki ilişki verilmiştir.

This thesis is based on a research over graded rings and graded modules as well as some related ideas which are of particular importance especially to the areas Algebra and Geometry. An important concept related to graded modules, so-called Hilbert functions, occurs as an invariant which measures size of homogeneous components. In this thesis we study the concept of multiplicity, which can be read from Hilbert functions, in many aspects.This thesis consists of five chapters. In the introductory chapter we give some important notions and results on commutative rings and their modules which will be used in the sequel.In the second chapter, we introduce the notions of graded rings and graded modules. We also give some particular graded rings which will be used later in other chapters. Finally we deal with the question as to whether a homogeneous decomposable submodule of a graded module has a primary decomposition in which every primary term is homogeneous.In the third chapter, by considering multiplicity systems, we give an account of a theory for `general multiplicity symbols` initiated by D. J. Wright. Also, we obtain a limit formula given for multiplicty symbol by C. Lech.In the fourth chapter, we study Hilbert and Hilbert-Samuel functions over a graded ring R0[x1, …, xs], where x1, …, xs are homogeneous elements of degree 1. Then, as an application of Hilbert functions theory, we give another limit formula for multiplicity symbol which is proved by P. Samuel. Moreover, we demonstrate how Hilbert-Samuel functions are used in Algebraic Geometry to determine the dimension of an affine variety.In the last chapter, we give some properties of Koszul complexes which provide us with homological methods for studying multiplicities. As one of the main results of this chapter, we establish a connection between two multiplicity symbols using Euler-Poincaré characteristics which are defined with the help of Koszul complexes.