Serbest gruplar ve otomorfizmaları

Abstract

Bu tez birinci bölüm olan giriş kısmı dışında 5 ana bölümden oluşmaktadır.İkinci bölümde temel bilgiler olarak serbest grup, grup sunuşu, grupların otomorfizma grupları, grup genişleme kavramları, karar verme problemleri ve Serre açısından yönlü grafların tanımı verilmiştir. Üçüncü bölümde, bir serbest grubun otomorfizma grubunun üreteçleri Nielsen metodu tanıtılarak elde edilmiştir. Daha sonra bu grubun kelime probleminin çözülebilirliğini araştırmak için iki tür sunuş tanıtılmıştır. Buna ek olarak rankı 2 olan bir serbest grubun otomorfizma grubunun, bazı sonlu ve sonsuz devirli grupların yarı-direkt çarpım ve serbest çarpımlarının bir kombinasyonuna izomorf olduğu gösterilmiş ve bu izomorfizma yardımıyla kelime probleminin çözülebilir olduğu sonucu elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, ilk olarak bazı cebirsel yapıların kelime problemi için algoritma oluşturmayı sağlayan yeniden yazma metodunun tanımı ve temel bilgileri verilmiştir. Daha sonra tezimizin ana sonucu olarak rankı n olan bir serbest grubun otomorfizma grubunun kelime probleminin çözülebilirliği bizim tarafımızdan elde edilmiştir.Beşinci bölümde, grup teoride önemli bir yeri olan Bass-Serre teorisi üzerinde durulmuştur. Bunun için sırasıyla etki kavramı, ağaçlar ile birleştirilmiş serbest çarpım ve ağaçlar ile HNN-genişlemesi arasındaki ilişki açıklanmıştır. Buna ek olarak grafların ve grupların grafının temel grubu tanıtılmıştır. Son bölümde ise genel bir değerlendirme yapılmıştır.

This thesis consists of five main chapters except introduction part.In the second chapter, a presentation of a group, an automorphism group of a group, the group-extensions, decision problems and the definition of the graph in the sense of Serre are given as fundamentals.In the third chapter, we introduce Nielsen method which create a generating system for a free group, so the generators of the automorphism group of a free group are obtained. Additionally, in order to show the solvability of word problem for this automorphism group, we give two distinct presentations. Then, it is showed that the automorphism group of a free group with rank two is isomorphic a combination of the semi-direct product and the free product of some cyclic groups (finite and infinite). By using this isomorphism, the solvability of word problem for this group is obtained. In the fourth chapter, at the beginning the definition and some fundamentals of the rewriting system is given, because this system provide to find an algorithm for word problem of some algebraic structures. Then we obtain main result of this thesis that the word problem for the automorphism group of a free group with finite rank $n$ has solvable word problem .In the fifth part, we discourse Bass-Serre theory having great importance in group theory. To do that, we explain group acting on some structures, the relations between trees and amalgamated free products and also trees and HNN-extension. Additionally, we give the definitions for the fundamental groups of a graph and a graph of groups.In the final chapter, we summarize the results which are obtained from previous chapters.