Pell Denklemleri

Abstract

Bu tez temel olarak dört bölümden ve bu bölümler de kendi içerisinde alt bölümlerden oluşmuştur. Birinci bölümde; öncelikle sayılar teorisi ile ilgili temel tanımlar ve teoremler verildi. Bu bölümün ikinci kısımında da sürekli kesirler hakkında bilgi verildi. ?d' nin sürekli kesir açılımının nasıl elde edileceği gösterildi.İkinci bölümde; Pell denklemleri hakkında öncelikle kısa bir bilgi verildikten sonra genel olarak x^2-dy^2=±1 ve x^2-dy^2=±N Pell denklemlerinin pozitif tamsayı çözümleri üzerinde duruldu. Pell denklemlerinin temel çözümünün tanımı verilerek sürekli kesir yaklaşımları yardımıyla nasıl hesaplanabileciği üzerinde duruldu. Bulunan temel çözümler ile de Pell denklemlerinin tüm pozitif tamsayı çözümlerinin nasıl elde edileceği gösterildi. x^2-dy^2=1 Pell denkleminin çözümlerini sürekli kesir yaklaşımları yardımıyla hesaplamak için alternatif olarak Bhaskara'nın methodundan bahsedildi.Üçüncü bölümde; x^2-dy^2=±4 Pell denklemlerinin temel çözümlerinin nasıl elde edilebileceği hakkında bilgi verildi. Ayrıca, elde edilen temel çözümler yardımıyla x^2-dy^2=±4 Pell denklemlerinin tüm pozitif tamsayı çözümlerini elde etmek için gerekli olan formüller verildi.Son olarak dördüncü bölümde; k pozitif tamsayı ve d?{k^2±4,k^2±1} olmak üzere x^2-dy^2=±1 ve x^2-dy^2=±4 Pell denklemlerinin bir çözümü varsa denklemlerin tüm pozitif tamsayı çözümleri genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizileri ile verildi. Özel olarak x^2-5y^2=±1 ve x^2-5y^2=±4 Pell denklemlerinin tüm pozitif tamsayı çözümlerinin Fibonacci ve Lucas sayılarına karşılık geldiği gösterildi.

This thesis consists of fundamentally four chapters and these chapters consist of subchapters in itself. In the first chapter, first of all fundamental definitions and theorems concerning number theory are given. In the second part of this chapter, the information about continued fractions is given. Here it is shown that how to get the continued fraction expansion of ?d.In the second chapter, after the Pell equations are described briefly, all positive integer solutions to the equations x^2-dy^2=±1 and x^2-dy^2=±N are given. Defininition of the solution to the Pell equations is given and the fundamental solutions to some Pell equations are calculated by means of the convergent of continued fraction. All positive integer solutions to the Pell equations are given by means of fundamental solutions. In order to calculate the solutions of Pell equation x^2-dy^2=1 an alternative method called Bhaskara?s method is used.In the third chapter, it is given that how the fundamental solution to the equations x^2-dy^2=±4 can be obtained. Moreover, the formulas are given to obtain all the positive integer solution to the equations x^2-dy^2=±4 with the help of fundamental solution.Finally, in the fourth chapter, if the equations x²-dy² =±4 and x²-dy²=±1 have a solution, then all positive integer solutions of them are given in terms of the generalized Fibonacci and Lucas numbers when d?{k²±4,k²±1} and k is a positive integer. Especially, all positive integer solutions of the equations x²-5y² =±4 and x²-5y²=±1 are determined in terms of the Fibonacci and Lucas numbers.