Supersymmetric quantum mechanics and its applications in physics

Abstract

IV OZ SUPERSIMETRIK KUANTUM MEKANİĞİ VE FİZİKTEKİ UYGULAMALARI ÖZER, Okan Doktora Tezi, Fizik Mühendisliği Bölümü Tez Yöneticisi: Prof. Dr Bülent GÖNÜL Haziran 2003, 95 sayfa Süpersimetrik kuantum mekaniğinin teorik altyapısı gözden geçirilerek bazı fiziksel problemlere uygulamalari çalışıldı. Metod, türetilmiş operatörler ve eş potansiyelleri içeren, Schrödinger dalga denkleminin çarpanlara ayrılması üzerine kuruludur. Modelin özünde bulunan Hamilton silsilesi ve çarpanlara ayrılma olayı kısaca tartışıldi. Tam çözülemeyen sistemler için kullanılan pertürbasyon teorisi süpersimetrik kuantum mekaniği çerçevesinde incelendi. Metod, Hulthen potansiyeline uygulandı ve potansiyelin £ > 0 açısal momentum değerleri için tatmin edici enerji seviye değerleri veren bir ifade elde edildi. Süpersimetrik kuantum mekaniği tarafından uygun bir dönüşüm uygulamasıyla iV-boyutlu uza yda, bir grup tekil potansiyel arasında çok genel bir bağlantı kurulabileceği gösterildi. Bu teknik kullanılarak, perdelenmiş Coulomb potansiyeli ve tam harmonik olmayan salınımlı sistemler arasında bir bağ elde edildi. Kuralsal dönüşümler altında, pozisyona bağlı kütle ifadeli bir diferansiyel denklemin sabit kütleli Schrödinger dalga denklemine dönüşümü için genel bir eşleme işlemi tanımlandı. Yeni formundaki Schrödinger dalga denkleminin, eğer ana potan siyel tam çözülebilir ve şekil değişmezliği özelliğine sahipse süpersimetrik kuan tum mekaniği çerçevesi içinde tam çözümleri olabileceği gösterildi. Serbest bölge içinde, lokalize ancak pozitif enerji seviyelerine sahip n-parametreli potansiyel ailelerinin oluşturulması için metodun nasıl uygulanacağı gösterildi. Anahtar kelimeler: Süpersimetrik kuvantum mekaniği, Şekil değişmezli potan siyeller, Hamilton hiyerarşisi, Süpersimetrik pertürbasyon teorisi, Hulthen potan siyeli, İV-boyutlu uzay, Pozisyona bağlı kütle, Serbest bölge içinde bağlı sistemler.

Ill ABSTRACT SUPERSYMMETRIC QUANTUM MECHANICS AND ITS APPLICATIONS IN PHYSICS ÖZER, Okan Ph. D in Engineering Physics Supervisor: Prof. Dr Bülent GÖNÜL June 2003, 95 pages Theoretical formulation of the supersymmetric quantum mechanics is re viewed and its applications to some physical problems are studied. The super- symmetric quantum mechanics (SUSYQM) is based on the factorization of the Schrödinger equation, leading to generalized operators and partner potentials. The Hamiltonian hierarchy and the factorization in the method are briefly dis cussed. It is also combined with the perturbation theory which is used for the systems that are not exactly solvable. The method is applied to the Hulthen po tential and an expression for the energy levels which gives satisfactory values for the non-zero angular momentum states of the potential is obtained. It is shown that a very general connection can be established between a class of singular potentials in iV-dimensional space through the application of a suitable transfor mation by SUSYQM. Using this way, a connection between screened Coulomb and anharmonic oscillator potentials is obtained. A general mapping procedure is described for the transformation of a differential equation with a position- dependent mass to the Shrödinger equation with a constant mass under canoni cal transformations. In the frame of SUSYQM, it is shown that the Schrödinger equation in its new form may have solutions if the original potential is solvable and shape-invariant one. Finally, It is demonstrated how the SUSYQM method can also be employed for the construction of n-parameter family of potentials which possess localized positive energy state(s) in the continuum. Key words: Supersymmetric Quantum Mechanics, Shape invariant potentials, Hamiltonian hierarchy, Supersymmetric perturbation theory, Hulthen potential, iV-dimensional space, Position-dependent mass, Bound states in continuum.