Genelleştirilmiş anti-Gauss ve optimal dereceli averaj integrasyon kuralları

Abstract

Gauss integrasyon kuralları, verilen bir integralin değerini yaklaşık olarak hesaplamak için kullanılır. Fakat bu integrasyon kurallarının hatasını hesaplamak pratikte kolay değildir. Gauss integrasyon kurallarının hata tahmini için genelde Gauss-Kronrod integrasyon kuralları kullanılır. Ancak bazı ağırlık fonksiyonları için reel pozitif Gauss-Kronrod formülleri yoktur. Alternatif kurallar arasında özellikle ilgilenilen kurallar anti-Gauss kuralları, averaj kuralları ve bu kuralların genelleştirilmiş versiyonlarıdır.Bu çalışmada genelleştirilmiş anti-Gauss ve averaj kuralları kısaca tanıtıldıktan sonra nokta anti-Gauss kuralları kullanılarak elde edilen optimal dereceli averaj metotları ile boyutlu üç köşegenli Jacobi matrisleri kullanılarak oluşturulan genelleştirilmiş averaj metotları karşılaştırılmıştır. Ayrıca Gegenbauer ölçümüne göre bu metotların denkliğini görmek için nümerik örnekler verilmiştir. Genel ölçümlerde bu metotların doğruluk dereceleri 2n+2 , simetrik ölçümlerde ise 2n+3 dür.Anahtar Kelimeler: Gauss integrasyon metotları, Hata tahmini, Gauss-Kronrod kuralları, Genelleştirilmiş anti-Gauss kuralları, Optimal dereceli averaj kuralları, Gegenbauer ölçümü.

Gauss integration rules are used to compute the value of an integral approximately. But it is not easy to compute error of these quadrature rules in practice. For the estimation of the error of Gauss quadrature rules, Gauss-Kronrod rules are widely used; however, it is well known that for some weight functions real positive Gauss-Kronrod rules do not exist. Among the alternatives which are available in the literature, the anti-Gauss rules, average rules and their generalized versions, are of particular interest.In this study, generalized anti-Gauss rules and generalized average rules are summarized, then the degree optimal average rules obtained by using point generalized anti-Gauss rules and the generalized average rules generated by tridiagonal Jacobi matrices of order are compared. In addition, to see equivalence for Gegenbauer measure these methods numerical examples are given. Both of these methods have degree of exactness 2n+2 for general measures, 2n+3 for symmetric measures.Key Words : Gauss quadrature methods, Error estimation, Gauss-Kronrod rules, Generalized anti-Gauss rules, The degree optimal average rules, Gegenbauer measure.