Eliptik tip sınır değer problemleri için sonlu elemanlar ve sonlu farklar yöntemlerinin karşılıklı analizi

Abstract

Anahtar Kelimeler: Sonlu eleman yöntemi, Sonlu fark denklemi, Sertlik matrisi, Baz fonksiyonu, Varyasyonel problem. Sonlu eleman ve klasik sonlu fark yöntemleri, mühendisliğin ve fiziğin birçok uygulamalı problemlerinde sayısal modellemeye temel oluştururlar. Birinci yöntem bir sınır değer probleminin varyasyonel formülasyonuna dayanır. İkinci yöntem ise problemin klasik çözümünü temel alır. Ancak uygulamalı problemlerin birçoğu zayıf çözüm gerektirirler. Bu nedenle de sonlu elemanlar yönteminin bazı avantajları vardır. Diğer taraftan sonlu fark şemaları nümerik uygulamalar da daha basittir. Bu çalışmada, karmaşık problemi için her iki yöntem de analiz edilmiştir. İlk olarak karmaşık problemin varyasyonel ifadesi verilmiştir. Elde edilen varyasyonel problem için sonlu eleman şeması uygulanmıştır. Lagrange tipi dörtgen ve üçgen elemanlar için sertlik matrisleri elde edilmiştir. Bu matrisler kullanılarak, yeni bir sonlu fark şeması elde etmek için algoritma çıkarılmıştır. Daha sonra sonlu fark şemaları, ele alman problem için klasik sonlu fark şeması ile karşılaştırılmıştır. Verilen yaklaşım, eliptik problemler için yeni bir tür sonlu fark şemalarının elde edilmesine olanak sağlar.

Keywords: Finite Element Method, Finite Difference Equation, Stiffness Matrix, Basis Function, Variational Problem. Finite Element and classical finite difference methods are fundamental to the numerical modeling of many applied problems of engineering and physics. The first method is based on a variational formulation of a boundary value problem, when the second method is based on a classical solution one. However, many applied problems require only a weak solution and therefore finite element method has some advantages. On the other hand, finite difference schemes are simpler in numerical applications. In this study for mixed problem, d2u d2u = F(x'y)> (x,y)eQcR ax dy 2 u(x,y)=0, (x,y)er,c5Q du dn du - = q>(x,yX (x,y)er2cdQ, r,nr2 = 0 the both methods are analysed. First the variational statement of the mixed problem is given. Then for the obtained variational problem finite element scheme is applied. For the Lagrange type rectangular and triangular element the stiffness matrixes are obtained. Then using these matrixes the algorithm to obtain new finite difference schemes is compared with the classical finite difference scheme for the considered problem. The presented approach permits to obtain new class of finite difference schemes for elliptic problems.