Süreksiz katsayılı eliptik problemlerin çözümü için konservatif sonlu fark yöntemleri

Abstract

SÜREKSİZ KATSAYILI ELİPTİK PROBLEMLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN KONSERVATİF SONLU FARK YÖNTEMLERİ Ebru ÖZBİLGE Anahtar Kelimeler: Monoton sonlu fark şemaları, Konservatiflik, Süreksiz katsayı, Eliptik denklemler, Transmisyon (Geçiş) problemleri, Temas koşullan, Katmanlı ortam, Sonlu fark yöntemi, Sonlu elemanlar yöntemi. Özet: Bu çalışmada, k = k(x) süreksiz katsayı olmak üzere bir boyutlu Au := -(k(x)u'(x))' + q(x)u(x) Sturm-Liouville operatörü ile bağlantılı olan sınır- değer problemleri için monoton konservatif şemalar sınıfı, sonlu fark yaklaşımlarıyla incelenmiştir. Süreksiz katsayılar sınıfında, sonlu fark şemalarında konservatifliğin gerek koşul olduğu gösterilmiştir. Farklı süreksiz katsayılar için sayısal örnekler incelenmiş ve konservatiflik koşulunun nasıl gözönüne alınması gerektiği verilmiştir. Transmisyon (Geçiş) problemleri, kararlaşmış ısı transferi problemlerinin katmanlı ortamlarda kendini göstermesinden ortaya çıkmıştır. Bu tür problemler, Au := -V(k(x)Vu(x)) = F(x), xeQcIR2 şeklindeki eliptik denklemlerle ilgilidir. Burada, k = k(x) süreksiz katsayıdır. Temas bölgeleri boyunca, ideal temas koşullan incelenmiştir. Katmanın (izolasyonun) kalınlığının (28 > 0) sıfıra yaklaştığı durumda transmisyon (geçiş) probleminin asimptotik analizi gösterilmiştir. Kullanılan konservatif sonlu fark şemalarının yaklaşım hataları düzgün olmayan şebekede her durum için ayrı ayrı hesaplanmıştır. Bir boyutlu ve iki boyutlu problemler için sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak, sonlu fark denklemleri elde edilmiş ve elde edilen sonlu fark denklemleri, klasik sonlu fark denklemleri ile karşılaştırılmıştır. Tezin son kısmında ise sözü edilen problemlerin yaklaşık çözümlerinin hesaplanmasında kullanılan Matlab programlan ek olarak verilmiştir. u

CONSERVATIVE FINITE DIFFERENCE METHODS FOR THE SOLUTION OF THE ELLIPTIC PROBLEMS WITH DISCONTINUOUS COEFFICIENTS Ebru OZBILGE Keywords: Monotone finite difference schemes, Conservativeness, Discontinuous coefficient, Elliptic equation, Interface problems, Jump conditions, Layered domain, Finite difference method, Finite element method. Abstract: A class of monotone conservative schemes is derived by finite difference approximations for the boundary value problem related to the Sturm-Liouville operator Au := -(k(x)u'(x))' + q(x)u(x), with discontinuous coefficient k = k(x). In the class of discontinuous coefficients, the necessary condition for conservativeness of the finite difference scheme is derived. The examples, presented for different discontinuous coefficients, and results show how the conservativeness conditions need to be taken into account in numerical solving boundary value problems. We study interface (or transmission) problems arising in the steady state heat conduction for layered medium. These problems are related to the elliptic equation of the form Au := -V(k(x)Vu(x)) =? F(x),x e Q c IR2, with discontinuous coefficient k = k(x). We analyse ideal contact conditions across the interfaces. An asymptotic analysis of the interface problem is derived for the case when the thickness (28 > 0) of the layer (isolation) tends to zero. For each case the local truncation errors of the used conservative finite difference scheme is estimated on the non-uniform grid. By using finite element method, finite difference equations are obtained, for one and two dimensional problems. The obtained finite difference equations are compared with the classical finite difference equations. Matlab programs are given at the last part of the thesis, which are used for the calculation of the approximate solutions of the above mentioned problems. in