Lyapunov-Schmidt indirgeme metodu ile elde edilen indirgenmiş bifurkasyon denklemi ve analizi

Abstract

LYAPUNOV-SCHMİDT İNDİRGEME METODU İLE ELDE EDİLENİNDİRGENMİŞ BİFURKASYON DENKLEMİ VE ANALİZİAli DEMİRAnahtar Kelimeler. Gecikmeli Diferansiyel Denklemler, Hopf Bifurkasyonu, Lyapunov-Schmidt İndirgeme Metodu,Özet: Bu çalışmada periyodik zaman gecikmeleri içeren matematiksel model ele alınaraksistemin hareketinin kararlılığı incelenmiştir. Otonom olmayan sisteme iki yeni durumdeğişkeni eklenerek sistem önce durum değişkenleri içeren gecikmeli diferansiyel denklemsistemi formuna getirilmiştir. İkinci adımda Taylor seri açılımı kullanılarak modelimiz sabitgecikme terimi içeren diferansiyel denklem sistemi olarak yazılmıştır. Bu aşamadan sonramatematiksel modelimiz Banach uzayında fonksiyonel diferansiyel denklem olarak ifadeedilmiştir. Sistemimiz rezonans olmayan bir sistem olarak kabul edilmiştir. Amacımızsistemin periyodik çözümlerini bulmak olduğundan fonksiyonel diferansiyel denklemimiz2Ï periyotlu sürekli fonksiyonların ve 2Ï /ν periyotlu sürekli fonksiyonların oluşturduğuuzayların direk toplamı olan uzay üzerinde yani C 2Ï â C 2Ï /ν uzayı üzerinde analiz edilmiştir.Sistemimiz sonsuz boyutlu uzayda olduğu için Lyapunov-Schmidt indirgeme metoduuygulanarak sonsuz boyuttaki fonksiyonel diferansiyel denklem sistemi sonlu sayıda cebirseldenklemlere indirgenmiştir. Bu cebirsel denklemlere indirgenmiş bifurkasyon denklemi denir.Elde edilen indirgenmiş bifurkasyon denklemi önce simetri özellikleri kullanılarak daha basiteindirgenmiştir. En sonunda basit forma indirgenmiş olan bifurkasyon denklemi analiz edilereksistemin hareketi ve kararlılığı analiz edilmiştir.

REDUCED BİFURCATİON EQUATİON OBTAİNED BY LYAPUNOV-SCHMİDTREDUCTİON METHOD AND ITS ANALYSİSAli DEMİRKeywords. Delay Differential Equations, Hopf Bifurcation, Lyapunov Schmidt ReductionMethod.Abstract: In this study the mathematical model including periodic time delays is consideredand the stability of the system is analyzed. First nonaoutomous system is transformed into adelay differential equation system whose delay terms include state variables by introducingtwo new state variables. At the second step our mathematical model is converted into a delaydifferential equations system whose delay terms are constant by making use of Taylor seriesexpansion. After this step our mathematical model is written as a functional differentialequation on the Banach space. Our system is assumed to be nonrezonant. Since our goal is tofind the periodic functions in the neighborhood of a critical point, the functional differentialequation is analyzed on the direct summation of the space of 2Ï periodic functions and2Ï /ν periodic functions, i.e. on the space C 2Ï â C 2Ï /ν . By making use of Lyapunov-Schmidt reduction method the functional differential equations system on infinite dimensionalspace is reduced to algeabric equations on finite dimensional subspace. These algeabricequations are called reduced bifurcation equations. The obtained reduced bifurcation equationis written in a simpler form by using the symmetry properties of the system. Finally thebehavior and stability of the simplified reduced bifurcation equation is analyzed.