Kanonik Dirac operatörü için kısmen çakışmayan iki spektruma göre ters problem

Abstract

ÖZET Doktora Tezi KANONİK DIRAC OPERATÖRÜ İÇİN KISMEN ÇAKIŞMAYAN İKİ SPEKTRUMA GÖRE TERS PROBLEM Ünal İÇ Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı 2003, Sayfa: 76 Bu çalışma giriş ve beş bölümden oluşmuştur. Giriş kısmında; Sturm-Liouville ve Dirac operatörlerinin, spektral teorisinin(düz ve ters problemlerin) tarihçesi verilmiştir. Birinci bölümde; diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde ve sunulan tezde sık sık kullanılan bazı temel tanımlar ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde; Bir boyutlu stasyoner Dirac operatörünün genel görüntüsü ve kanonik formlar incelenmiştir. II. kanonik form için özvektör fonksiyonlarının ortogonalliği ve özdeğerlerin reel olma durumu gösterilmiştir. Ayrıca integral denklemler metodu ile açılım teoremi ispatlanmıştır. Üçüncü bölümde; kanonik Dirac operatörleri için matris dönüşüm operatörleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde; Dirac operatörünün I. ve II. Kanonik formlar için kısmen çakışmayan iki spektruma göre ters problem Hochstadt yönteminden faydalanarak çözülmüştür. Her iki durumda potansiyeller farkı için önemli formüller bulunmuştur. Beşinci bölümde; kanonik Dirac operatörü için teklik teoremi, K(x,s) matris fonksiyonunun genel dejenereliği ve Hochstadt teoreminin farklı bir yöntemle ispatı verilmiştir. Anahtar Kelimeler: Operatör, Spektrum, Ters problem, Sturm-Liouville operatör, Dirac operatör, özdeğer, özvektör fonksiyonu, Kanonik form, Dönüşüm operatörü, Açılım teoremi, Parseval eşitliği. rv

ABSTRACT PhD Thesis INVERSE PROBLEM ON TWO PARTIALLY NON-COINCIDE SPECTRUM FOR THE CANONICAL DERAC OPERATOR ÜnalİÇ Fırat University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics 2003, Page: 76 This thesis consists of the introduction and five chapters. In the introduction the history of spectral theory a Sturm-Liouville and Dirac operators are presented. In the first chapter some fundamental definitions and theorems, often used in spectral theory of differential operators are given. In the second chapter the general structure of the stationary one-dimensional Dirac operator and canonical forms are investigated. There has been shown the ortogonality of the eigenvector functions and the reality of the eigenvalues for the second canonical form. In particular the expansion theorem was proved by the method of integral equations. In the third chapter matrix transformation operators for the canonical Dirac operators are investigated. In the fourth chapter the inverse problem on two partially non-coincided spectrum for the first and second canonical forms of the Dirac operators has been solved by Hochstadt's method. In both cases we obtained a new proof of Hochstadt's theorem concerning the structure of the difference of potentials. In the fifth chapter the uniques theorem for the canonical Dirac operator has been proved. General degeneration of the K(x,s) matrix functions and Hochstadt's theorem was proved, using different method. Keywords: Operator, Spectrum, Inverse problem, Sturm-Liouville operator, Dirac operator, Eigenvalues, Eigenvector functions, Canonical form, Transformation operator, Expansion theorem, Parseval equality.