Indefinite-Riemann manifoldlarında genel helisler

Abstract

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır.İlk bölümde çalışmamız için gerekli olan Bilineer Form 'lar, Skalar Çarpmalı Uzaylar ve Lorentz Uzayı ile ilgili tanım ve teoremler verilmiştir. ikinci bölümde En, n-boyutlu Oklid uzayında genel helisler (eğilim çizgileri) tanıtılmış ve bunlara ait iyi bilinen karakterizasyonlar verilmiştir.Daha sonra bu tanımların ve karakterizasyonların I`, Lorentz uzayındaki karşılıkları verilmiştir. Üçüncü bölümde ise;T.IKAWA'nın Tsukaba J.Math.(1985) de yayınladığı çalışmasında verdiği Mı bir indefinit-Riemann manifoldu M,- nin irtibatlı bir Lorentz altmanifoldunun total geodezik altmanifoldu olması için Mı deki ki ve fo sabit eğrilikli her time-like helisin Mi de bir time like helis olmasıdır;şeklindeki teoremini genel helislere genelleştirdik.Bu teoremin ki ve k2, sabitfeı değil fakat - sabit olması durumunda genel helislerdeki karşılığını aradık. ` M/(boyM/ > 3) «2 bir Mi indefinite- Riemann manifoldunun,irtibatlı Lorentz altmanifoldu olsun. Eğer Mı deki kı,k2(k'î ^ k%) eğrilikli her time-like genel helis M,- de bir time-like genel helis ise Mı, M i nin total geodezik altmanifoldudur.` şeklinde elde ettik. Eğer burada fcı ve fa sabit alınması özel halinde T.Ikawa'nın verdiği teoremin elde edildiğini gösterdik. ANAHTAR KELİMELER: Bilineer Form,Skalar Çarpım,İndeks,Time-like vektör, Time-like eğri,Eğilim Çizgisi, Harmonik Eğrilik, Lorentz Manifoldu,Total Geodezik Altmanifold.

This thesis consist of three parts.In the first part, some fundamental definitions and theorems related to Bilinear forms, Scalar product and Lorentzian space are given which are necessary for our main study. In the second part,inclined curves in En,n- dimensional Euclidean space, are introduced and their wellknown characterizations are given orderly.After that the correspondings of these definitions and characterizations in Ln,n- dimensional Lorentzian space,are given. In the third part, we generalize the following theorem by T.Ikawa which was published in the Tsukaba J.Math.(1985) to the case of a general helix. Theorem: Let M/ (dimMi > 3) be a connected Lorentzian manifold of a indefinite- Riemannian manifold M,-.If for some &i,&2 > 0,every time-like helix with curvatures ki and &2 in Mi is aIV time-like helix in M,-,then Mi is a totaly geodesic submanifold in M,-. KEY WORDS : Bilinear form,Scalar product, In dex,Time-like vector, Time-like curve Inclined curve,Harmonic curvature,Lorentzian manifold,totaly geodesic submanifold.