Diferansiyel quadrature metodlarının plakaların serbest titreşinime uygulanması

Abstract

Karoser, yer döşemeleri, köprüler, güneş panelleri ve özellikle gemi ve uçak sanayisi gibi modern yapı uygulamalarında cıvata, perçin ve kaynaklı plaka yapılan kullanılır. Bu yapıların dinamik karakteristiklerinin, tasarımını yapan mühendis tarafından bilinmesi gerekir. Bu tip mühendislik problemleri, plaka problemleri olarak isimlendirilir. Genellikle kesin sonuçlan bilinmediği için, konu üzerine bir çok nümerik ve analitik çalışmalar yapılmıştır. Çözüme daha hızlı ve daha doğru yaklaşımlar için daha az sayıda grid kullanan alternatif bir sayısal metot, R. Bellman tarafından mühendislik bilimlerinin başlangıç ve sınır değer problemleri için önerilmiştir. Diferansiyel Quadrature Metodu adı verilen bu metot, şu fikri baz alır; `Koordinat yönüne göre bir fonksiyonun türevi, çepeçevre saran bir alandaki yüksek dereceden bir polinom yardımıyla yaklaşım kurulabilen devamlı bir fonksiyon ve o yön boyunca bütün ağ noktalarındaki fonksiyon değerlerinin lineer toplamıdır`. Özellikle 1994 ve sonrası dönemlerde metodun değişik versiyonları geliştirilmiş, problemli matris yapılarından kurtarılmış, grid noktalarının seçimi ve sınır koşullarının uygulanmaları basitleştirilmiştir. Böylece her türlü mühendislik problemlerinde kullanılabilir olması sağlanmıştır. Bu çalışmada değişik versiyonlardaki Diferansiyel Quadrature metotları tanıtılarak kullanılan grid yapıları ve bu yapılar için hesaplanan ağırlıklı katsayıların elde edilme yöntemleri ve değişik problemlerde uygulamaları verilmiştir. Anizotropik, izotropik, bir sınır boyunca değişik sınır koşullarına sahip, farklı kalınlıkta, süreksizlikler içeren plakalar ve nokta mesnetli plakaların çözümler elde edilmiş, farklı metotlar, değişik araştırmacıların elde ettikleri çözümler ve mühendislik problemlerinin analizinde çoğunlukla kullanılan sonlu eleman analizi programı Ansys ile elde edilen çözümlerle beraber verilerek DQ çözümleri test edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Diferansiyel Quadrature Metodu, Serbest titreşim, Ansys, Plaka

In the applications of modern structures, i.e. carouser, building floor, bridge deck, solar panels and especially aircraft and ship industries, bolted, riveted or spot-welded plate bodies are used. Designers have to know how these components change the dynamic characteristic of the structures. This type engineering problems are called as plate problems. As there is no exact solution in general, various analytical approach and numerical methods are utilized for this type of problems. An alternative numerical method which requires fewer grid points and achieves acceptable accuracy for the rapid solution of linear and nonlinear partial differential equations, the method of differential quadrature was introduced by Bellman. This method is based on the ideas that; `The derivative of a function with respect to a coordinate direction can be expressed as a weighted linear sum of all the function values at all mesh points along that direction and that a continuous function can be approximated by a high order polynomial in the overall domain`. Since 1 994, different versions of the method have been developed, illconditioned matrix structure is removed, the choice of grid mesh and applications of boundary conditions were simplified and so these has been given rise to efficiency to solve any type of problems. In this study, several versions of Differential Quadrature Method and their obtaining methodology of weighted coefficient and applications to different problems were presented. Also, solutions of the free vibration on plates made of isotropic or anisotropic materials, having different geometries (stepped, with cutouts) and several boundary conditions (point support, mixed boundary conditions) were studied. Comparisons with the previous studies using other methods were presented and/or solutions were tested with ANSYS, a finite element program which has a wide spread use in the analysis of engineering problems. Keywords: Differential Quadrature Method, Free vibration, Ansys, Plate