Polinom ve polinom olmayan spline fonksiyonlar yardımıyla bazı kısmi diferensiyel denklemlerin sayısal çözümleri

Abstract

Bu tezde, polinom ve polinom olmayan kübik spline fonksiyonlar yardımıyla bazı kısmi diferensiyel denklemlerin sayısal çözümleri üzerinde çalışılmıştır.Birinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak olan kavramlar tanıtılmıştır. Spline fonksiyonlar hakkında genel bilgi verilmiş, sonrasında kuadratik ve kübik spline interpolasyon fonksiyonları açıklanmıştır. Polinom olmayan spline fonksiyonlar tanımlanarak, polinom olmayan kuadratik, kübik, kuartik ve kuintik spline interpolasyon fonksiyonları oluşturulmuştur. Son olarak, adveksiyon-difüzyon, RLW, lineer olmayan Burger ve genelleştirilmiş Burgers-Fisher denklemleri, başlangıç ve sınır koşulları ile birlikte tanıtılmıştır.Diğer dört bölümde, adveksiyon-difüzyon, RLW, lineer olmayan Burger ve genelleştirilmiş Burgers-Fisher denklemlerinin sayısal çözümleri polinom olmayan kübik spline fonksiyonlar kullanılarak araştırılmıştır. Önerilen metotların kararlılığı için ikinci, üçüncü ve dördüncü bölümlerde von-Neumann analizi kullanılmış, son bölümde ise yerel kesme hatası çalışılmıştır. Metotların doğruluğunu ve etkinliğini ölçmede farklı bazı test problemleri dikkate alınmıştır ve elde edilen sonuçlar polinom spline tabanlı metotla ve daha önceden yapılmış olan çalışmalarla karşılaştırılmıştır.

In this thesis, the numerical solutions of the some partial differential equations are studied by using polynomial and non-polynomial cubic spline methods.In the first chapter, some definitions needed in the next chapters are given. An introduction about spline functions is given and then quadratic and cubic spline interpolation functions are described. After the non-polynomial cubic spline functions is explained, non-polynomial quadratic, cubic, quartic and quintic spline functions are constructed. Finally, the advection-diffusion, RLW, non-lineer Burger and generalized Burgers-Fisher equations are introduced together with their initial and boundary conditions.In the other four chapters, the advection-diffusion, RLW, non-lineer Burger and generalized Burgers-Fisher equations are solved numerically by using non-polynomial cubic spline method. Von-Neumann analysis is employed in the second, third and fourth chapters for the stability and local truncation error of the method is derived in the last chapter. To illustrate the accuracy of the methods, some numerical examples are considered and obtained results are compared with polynomial spline based method and some early studies.