Kısmi diferensiyel denklemlerin Riemann Theta fonksiyonları ile periyodik çözümleri

Abstract

Son yıllarda kısmi diferensiyel denklemlerin tam çözümlerinin bulunması hem matematik hem de fizik alanında çalışan bilim insanları için en popüler çalışma konularından birisidir. Çünkü bir denklemin tam çözümünün bulunması, o denklemin karmaşık fiziksel yapısının anlaşılmasını kolaylaştırır. Tam çözümlerin bulunabilmesi için çeşitli yöntemler kullanılmaktadır. Bu yöntemler arasından cebirsel-geometrik yaklaşım çoğu lineer olmayan denklemler için periyodik veya kuasi periyodik çözümleri bulurken kullanılan önemli bir yöntemdir ancak periyodik çözümlerdeki, tüm esas fiziksel karakteristikleri (dalga sayısı, faz hızı ve dalganın genliği) doğrudan belirlemek oldukça zordur. Fakat Nakamura 1980'li yıllarda Hirota bilineer metod ile Rieman theta fonksiyonlarını bir arada kullanarak periyodik çözümlerin doğrudan bulunabileceğini göstermiştir. Son zamanlarda çeşitli kısmi diferensiyel denklemlerin, fark denklemlerin ve süpersimetrik denklemlerin de periyodik çözümleri bu yöntem sayesinde bulunabilmiştir.Tezde Hirota-Riemann metodu tanımlanmış ve tekli bilineer form şeklinde yazılabilen iki denklem türü (3+1) boyutlu Genelleştirilmiş BKP ve (3+1) boyutlu BKP denklemlerine uygulanışı gösterilmiştir. Literatürde çok karmaşık hesaplar içerdiği için üç-periyodik çözümün bulunuşuyla ilgili pek bir çalışma yapılamamıştır. Fakat tezde bu zorluk aşılabilmiş ve bu iki denklem için bir, iki-periyodik çözümlerin yanı sıra üç-periyodik dalga çözümleri bulunup her bir çözümün dalga grafikleri çizdirilmiştir. Belirli asimptotik şartlar altında bulunan periyodik çözümlerin bilinen soliton çözümlere gittiği gösterilmiştir.İkili bilineer form için de Hirota-Riemann metodu anlatılıp (2+1) boyutlu Breaking Soliton denklemi için bir ve iki-periyodik çözümleri bulunup grafikleri çizdirilmiş, ve yine asimptotik şartlar altında periyodik çözümlerin, soliton çözümlere gittiği gösterilmiştir.

In recent years, finding exact solutions of partial differential equations is the one of the most popular subject area for both mathematicians and physcists. Because we know that if we can find exact solutions of an equation, it can help us to understand complicated physical models.There are various methods to obtain exact solutions. Among them algebro-geometric method is important method for finding periodic or quasi periodic solutions. But it is not easy to obtain all phisical characteristics such as wave numbers, phase velocities, amplitudes directly. But in 1980's Nakamura showed a way to construct the periodic wave solutions directly using with Hirota's bilinear method and Riemann theta functions. Recently the periodic solutions of some partial differential equations, difference discrete equations and supersymmetric equations was obtained using this method.In this thesis Hirota-Riemann method was defined and for single bilinear form (3+1) dimensional Generalized BKP and (3+1) dimensional BKP equations was taken as a model to illustrate this method. Because of some difficulties in calculations of three-periodic wave solutions, hardly ever there has been a study in the literature . But here we could managed to solve this problem and we obtained one and two periodic solutions as well as three periodic wave solutions, ploted the graphics. And we showed under some asymptotic conditions periodic solutions tend to the known soliton solutions.For coupled bilinear form we gave Hirota-Riemann method and we obtained one and two-periodic solutions, plotted the graphics of (2+1) dimensional Breaking Soliton equation and finally showed under some asymptotic conditions periodic solutions tend to the known soliton solutions