Bazı öklidyen olmayan geometrilerde inversiyonlar üzerine

Abstract

Literatürde inversiyon dönüşümü pek çok farklı şekilde sunulmuştur. İnversiyon kavramı Perga tarafından (M.Ö. 225 – M.Ö. 180) sunulduktan sonra takip eden yıllar boyunca, birçok fizikçi ve matematikçi birbirlerinden bağımsız olarak, inversiyon kavramını yeniden keşfettiler ve kendi uygulamaları için en faydalı olan özellikleri merkezsel bir koni, elips ve çembere göre inversiyon tanımlayarak ispatladılar. Bu özelliklerin bazıları klasik çembere göre inversiyonun sağladığı özelliklerdir. Bir küreye göre inversiyon, küreyi içten dışa dönüştüren uzayın bir dönüşümüdür. Yani, kürenin dışındaki noktalar kürenin içindeki noktalara ve kürenin içindeki noktalar kürenin dışına eşlenirler. Üstelik inversiyonlar farklı metriklerle donatılmış düzlem ve uzaylarda da incelenebilir.Bu çalışmanın birinci ve ikinci bölümlerinde inversiyon ve Öklidyen olmayan bazı metriklerle ilgili temel kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde Çin dama ile donatılmış düzlemde Çin dama çemberine göre bir inversiyon tanımlanıp ve bu yeni dönüşümün pek çok özelliği incelenmiştir. Ayrıca invers noktalar, çifte oran, harmonik eşlenik kavramları ile ilgili özellikler verilmiştir.Dördüncü ve beşinci bölümde, taksi ve Çin dama küresine göre inversiyon tanımlanarak bu dönüşümün çeşitli özellikleri incelenmiştir. Ayrıca taksi ve Çin dama uzayında invers noktalar, çifte oran, harmonik eşlenikler ile doğruların, düzlemlerin, çemberlerin ve kürelerinin inversiyon altındaki görüntülerinin özellikleri araştırılmıştır.

Inversion transformation has been presented in different kinds in the literature. After the concept of inversion was introduced by Perga (225 BC - 180 BC) throughout the following years, many physicists and mathematicians, independently of each other, rediscovered the consept of inversion and they proved the most useful properties for their applications by defining a central cone, ellipse, and circle inversion. Some of these features are inversion compared to the classical circle. The part of the space inside the sphere is sent off the sphere and vice versa by an inversion with respect to a sphere. That is, the points outside the sphere are mapped to the points inside the sphere, and the points inside the sphere are mapped outside the sphere. Inversions can also be studied in planes and spaces equipped with different metrics. In the first and second chapter of in this study, basic consepts of inversion and some non-Euclidean metrics are given. In the third chapter, an inversion is defined with respect to Chinese Checkers circle in Chinese Checkers plane and many properties of this transformation are examined. In addition, properties of inverse points, cross ratio, harmonic conjugate concepts are given. In the fourth and fifth chapter, spherical inversions with respect to of the taxicab and the Chinese Checkers sphere have been defined and proved several properties of this transformations in taxicab and Chinese Checkers spaces. In addition, the inverse points, cross ratio, harmonic conjugates and lines, planes, circles, spheres under spherical inversion are investigated in the taxicab and Chinese Checkers space.