Örgü grubu ile ilgili cebirsel yapılar ve bunların temsilleri

Abstract

ÖZET Bu tezde, örgü grubuyla ilgili bazı yeni cebirsel yapıları inceledik. Bu yapılardan ilki, Artin örgü grubunun, elemanları bir * -cebrine ait olan matrislerle temsilidir. Bu temsil Burau temsiline benzer, fakat değişmeli olmayan matris elemanları, örgü grubu bağıntısının sağlanması için, belli bir takım değişme tipi bağıntıları gerçeklemelidirler. Bu elemanların ait olduğu * -cebrinin bir Hilbert uzayı üze rinde Lineer operatörler olarak temsilini bulduk. Bu çözüme olanak sağlayan kabul, örgü grubunun üreteçlerinin temsillerinin köşegen olmayan elemanlarının genelleştirilmiş bir osilatör cebrinin yaratma ve yoketme operatörleriyle özdeşLeştirilmesidir. İncelediğimiz ikinci yeni cebirsel yapı, SU (n+m)/Sü (n) x SU (m) x U(l) Grassmann manifoldudur. Si Sı Sı Örgü grubu bağıntısının ve Hecke cebri yapısının bu Kuantum grup kosetiyle yakından ilgili olduğunu gösterdik ve bu kosetin, elemanları m.n q-osilatörü cinsinden verilen operatörler olan açık matris temsillerini bulduk. Son olarak, üniter kuantum gruplarıyla ve kuantum Grassmann manifoldlarıyla ilgili örgü, düğüm ve halkaları inceledik. II

ALGEBRAIC STRUCTURES ASSOCIATED WITH THE BRAID GROUP AND THEIR REPRESENTATIONS SUMMARY In this thesis some new algebraic structures associated with the braid group are investigated. One of these structu res is the representation of the Art in braid group in terms of matrices with matrix elements belonging to a * -algebra. This representation is similar to the Burau representation except the fact that the non commuting matrix elements have to satisfy commutation -like relations so that the braid group relation is satisfied. We find a representation of this *-algebra as linear operators on a Hilbert space. The main point of our ausatz which gives rise to this solution is the identification of the nondiagonal elements of the representations of braid group, generators with the creation and annihilation operators of an oscillator algebra. The second new algebraic structure we investigate is the quantum Grassmannian manifold SU (n+m)/SU (n) x SU (m)x U(l). We show that the braid group relation and Hecke algebra structure are intimately related to this quantum group coset and we find explicit matrix representations of this coset in terms of matrices whose elements are operators given in terms of m.n q-oscillators. Finally we investigate the braids, knots and links associated with the unitary quantum groups and quantum Grassmannian manifolds. Ill