Değişmeli halkalarda tek türlü çarpanlara ayrılabilme

Abstract

ÖZET Bu çalışmada ki amacımız bir tamhk bölgesinde ve birimli, değişmeli olan bir halkada tek türlü çarpanlara ayrılabilme kavramlarını araştırmaktır. Bölüm I'de temel tanımlar ve tamhk bölgeleri için tek türlü çarpanlara ayrılabilmenin temel sonuçlan verilmiştir. 1966'da Fletcher tarafından öz sıfir böleni de içerebilen birimli ve değişmeli halkalar için tek türlü çarpanlara ayrılabilen bir halkanın (TÇB) tanımı verilmiştir. Bu tanımı kullanarak Fletcher, halkalar için bazı teoremleri genelleştirmiştir. Bölüm II; Fletcherin tanımlan ve sonuçlanyla ilgilidir. Bu bölümde aynca sonlu sayıdaki bir TÇB`nin direkt toplamının yine bir TÇB olduğu gösterilmiştir ve buradan bir esas ideal halkasının bir TÇB olduğu ispatlanmıştır, a>Tica TÇB'lerin yapısı araştınlmış ve her TÇB'nin tek türlü çarpanlara aynlabilen tamlık bölgelerinin ve özel TÇB'lerin sonlu bir direkt toplamı olduğu gösterilmiştir. Aynı zamanda bölüm IFde; R'nin bir TÇB olması için gerek ve yeter koşulun her indirgenemezin asal olduğu sonucu elde edilmiştir.

SUMMARY In this work our main aim was to investigate the concepts of unique factorization in an integral domains and in a commutative ring with identity. In chapter I we give the basic definitions and the main results of unique factorization for integral domains. In 1996 Fletcher gave the definition of a unique factorization ring (UFR) for the commutative rings with identity possibly containing proper zero-divisors. Using this definition he generalized some theorems for rings. Chapter II concerts his definitions and results. We show that the direct sum of a finite number of UFR is a UFR and therefore a principal ideal ring becomes a UFR. We investigate the structure of UFR' s and prove that every UFR is a finite direct sum of unique factorization domains and special UFR's. We show that R is a UFR if and only if ever}' irreducible elements is prime.