Sınır şartlarında parametre bulunan sturm-liovville tipli diferansiyel denklemin spektral analizi

Abstract

Bu çalışmada, sınır koşulunda spektral parametre bulunan aşağıdaki özel regüler Sturm-Liouville problemi göz önüne alınmıştır. [a,b]c^? sonlu kapalı bir aralık olmak üzere, L2[a,b] Hilbert uzayında; a<x<b için -y` + q(x)y = Xy (*) diferansiyel denkleminin, y(a)Cosa +y/(d)Sina =0 ve ~(P iyib) - (V (b)) = X$[y(b) - Pİ)/(&)) sınır koşullanyla özdeğer ve özvektörleri incelenmiştir. Burada a e [0, 7t], p = P ı p2 - P ı $2 > ° (P ı = P2, P ', P2 e /?), ve 7/ ise kompleks değerler alan bir parametredir. Gözönüne alınan problemin ; H = Lz[a, b/® C uzayında, kendi kendine eşlenik bir A operatörüyle temsil edilebildiği gösterilmiş ve A operatörünün spektrumunun saf ayrık olduğu ispatlanmıştır. Bunun yardımıyla A ' nın özfonksiyonlarının L2[a, b](B C uzayında tam ortonormal sistem oluşturduğu gösterilmiştir, p 1, p2, P [, P2 parametrelerinin değişimine bağlı olarak yukardaki problemin özdeğerlerinin asimptotik ifadeleri elde edilmiştir. Bir örnek olarak q(x)=0,a = 0, Pı=P2 = 0 özel halinde, (*) diferansiyel denkleminin özfonksiyonlanna göre açılım formülü, ısı denklemi için sınır değer problemine uygulanmıştır.

The following special regular Sturm-Liouville problem involving the spectral parameter in the boundary conditions is studied. In Hubert space L2 [a, b], as [a, b]cR is a finite closed interval, the eigenvalues and eigenfunctions of equation -y` + q(x)y = Xy a<x<b (*) under the boundary conditions of y(a)Cosa +y/(a)Sina = 0 and -OtK*) - foy'ib)) = X(^y(b) - pV(Z>) where a e [0, %], p = PiP2 - PiP2 > 0 (Pi, P2, Pi and $'2 e R and X is a coplex parameter, are investigated. It is shown that the problem considered in the Hubert space, H - L2[a, b]& C, can be represented with a self-adjoint operator A and it is proved that spectrum of A is purely discrete. Using this it is also shown that eigenfunctions of A take the form of a complete orthonormal system in L2[a, b]®C. Asymptotic formulae for the eigenvalues of the above problem depending on variation of parameters pİ5 p2, Pi and p2 are obtained. As an example, for a special case when q(x) - 0, a = 0 and P 1 = p2 = 0 the expansion formula for the eigenfunctions of (*) the differential equation is applied to boundary value problem for heat equation. 111